Пространство непрерывных функций
Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] функции (обычно обозначается [math]\displaystyle{ {\mathrm C}[a,b] }[/math], иногда [math]\displaystyle{ C^0[a,b] }[/math] или [math]\displaystyle{ C^{(0)}[a,b] }[/math] или [math]\displaystyle{ C(a,b) }[/math]) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:
- [math]\displaystyle{ ||x||_{{\mathbf C}[a,b]}=\max_{t\in [a,b]}|x(t)| }[/math]
Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.
Свойства
- Если последовательность [math]\displaystyle{ x_n }[/math] элементов из [math]\displaystyle{ {\mathrm C}[a,b] }[/math] сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции [math]\displaystyle{ x(t) }[/math], то [math]\displaystyle{ x_n \rightrightarrows x }[/math] при [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math].
- Отсюда: [math]\displaystyle{ {\mathrm C}[a,b] }[/math] — банахово пространство.
- Пространство непрерывных функций сепарабельно: счётное всюду плотное множество в нём образует множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Это утверждение получается как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса.
- В [math]\displaystyle{ {\mathrm C}[a,b] }[/math] не выполняется тождество параллелограмма, поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения.
Вариации и обобщения
Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями. В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань.
Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) [math]\displaystyle{ C(X,Y) }[/math] называется множество всех непрерывных ограниченных функций [math]\displaystyle{ x:X\to Y }[/math] со введённой на нём нормой:
- [math]\displaystyle{ \|x\|_{C(X,Y)} = \sup_{t\in X}\|x(t)\|_{Y}. }[/math]
Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:
- [math]\displaystyle{ \|x\|=\int\limits_a^b |x(t)|\,dt }[/math]
В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность [math]\displaystyle{ x_n }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_n(t)= \begin{cases} 1, \quad t \geqslant \frac{1}{n} \\ nt,\quad t \in (-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \\ -1,\quad t \leqslant -\frac{1}{n} \end{cases} }[/math]
Его пополнение есть [math]\displaystyle{ L_1[a,b] }[/math] — пространство суммируемых функций.
Литература
- Колмогоров А. Н., Фомин С. И. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 2004.
- Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965.
- M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London: Academic Press, 1973.
- Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.