Призма (геометрия)
| Множество однородных призм | ||
|---|---|---|
 Шестиугольная призма | ||
| Тип | Однородный многогранник | |
| Свойства |
вершинно транзитивный выпуклый многогранник |
|
| Комбинаторика | ||
| Элементы |
|
|
| Грани |
Всего - 2+n 2{n} n {4} |
|
| Конфигурация вершины | 4.4.n | |
| Двойственный многогранник | Бипирамида | |
| Классификация | ||
| Символ Шлефли | {n}×{} or t{2, n} | |
| Диаграмма Дынкина |
    |
|
| Группа симметрии | Dnh, [n,2], (*n22), порядок 4n | |
При́зма (лат. prisma от др.-греч. πρίσμα «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.
Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная; пятиугольник — пятиугольная (пентапризма) и т. д.
Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).
Элементы призмы
| Название | Определение | Обозначения на чертеже | Чертеж |
| Основания | Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях. | [math]\displaystyle{ ABCDE }[/math], [math]\displaystyle{ KLMNP }[/math] |  |
| Боковые грани | Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. | [math]\displaystyle{ ABLK }[/math], [math]\displaystyle{ BCML }[/math], [math]\displaystyle{ CDNM }[/math], [math]\displaystyle{ DEPN }[/math], [math]\displaystyle{ EAKP }[/math] | |
| Боковая поверхность | Объединение боковых граней. | ||
| Полная поверхность | Объединение оснований и боковой поверхности. | ||
| Боковые рёбра | Общие стороны боковых граней. | [math]\displaystyle{ AK }[/math], [math]\displaystyle{ BL }[/math], [math]\displaystyle{ CM }[/math], [math]\displaystyle{ DN }[/math], [math]\displaystyle{ EP }[/math] | |
| Высота | Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям. | [math]\displaystyle{ KR }[/math] | |
| Диагональ | Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. | [math]\displaystyle{ BP }[/math] | |
| Диагональная плоскость | Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. | [math]\displaystyle{ EBP }[/math] | |
| Диагональное сечение | Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат. | [math]\displaystyle{ EBLP }[/math] | |
| Перпендикулярное (ортогональное) сечение | Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру. |
Свойства призмы
- Основания призмы являются равными многоугольниками.
- Боковые грани призмы являются параллелограммами.
- Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
- Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:
- [math]\displaystyle{ V=S\cdot h }[/math]
- Объём призмы с правильным n-угольным основанием равен
- [math]\displaystyle{ V = \frac{n}{4}hs^2 \mathrm{ctg}\frac{\pi}{n} }[/math] (здесь s — длина стороны многоугольника).
- Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
- Площадь боковой поверхности произвольной призмы [math]\displaystyle{ S=P\cdot l }[/math], где [math]\displaystyle{ P }[/math] — периметр перпендикулярного сечения, [math]\displaystyle{ l }[/math] — длина бокового ребра.
- Площадь боковой поверхности прямой призмы [math]\displaystyle{ S=P\cdot h }[/math], где [math]\displaystyle{ P }[/math] — периметр основания призмы, [math]\displaystyle{ h }[/math] — высота призмы.
- Площадь боковой поверхности прямой призмы с правильным n-угольным основанием равна
- [math]\displaystyle{ A = \frac{n}{2} s^2 \mathrm{ctg}{\frac{\pi}{n}} + n s h. }[/math]
- Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
- Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
- Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
- Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида.
Виды призм
- Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками[1].
- Прямая прямоугольная призма называется также прямоугольным параллелепипедом. Символ Шлефли такой призмы — { }×{ }×{ }.
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.
- Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником. Символ Шлефли такой призмы — t{2,p}.
- Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников (другую последовательность образуют антипризмы).
Наклонными называются призмы, рёбра которых не перпендикулярны плоскости основания.
Усечённая призма — многогранник, который отсекается от призмы непараллельной основанию плоскостью[2]. Усечённая призма сама призмой не является.
Диаграммы Шлегеля
 Треугольная призма |
 4-угольная призма |
 5-угольная призма |
 6-угольная призма |
 7-угольная призма |
 8-угольная призма |
Симметрия
Группой симметрии прямой n-угольной призмы с правильным основанием является группа Dnh порядка 4n, за исключением куба, который имеет группу симметрии Oh порядка 48, содержащую три версии D4h в качестве подгрупп. Группой вращений является Dn порядка 2n, за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа O порядка 24, имеющая три версии D4 в качестве подгрупп.
Группа симметрии Dnh включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.
Обобщения
Призматические многогранники
Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. n-мерный призматический многогранник конструируется из двух (n − 1)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.
Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (n − 1)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.
Возьмём n-мерный многогранник с элементами [math]\displaystyle{ f_i }[/math] (i-мерная грань, i = 0, …, n). Призматический ([math]\displaystyle{ n + 1 }[/math])-мерный многогранник будет иметь [math]\displaystyle{ 2f_i + f_{-1} }[/math] элементов размерности i (при [math]\displaystyle{ f_{-1}=0 }[/math], [math]\displaystyle{ f_n=1 }[/math]).
По размерностям:
- Берём многоугольник с n вершинами и n сторонами. Получим призму с 2n вершинами, 3n рёбрами и [math]\displaystyle{ 2 + n }[/math] гранями.
- Берём многогранник с v вершинами, e рёбрами и f гранями. Получаем (4-мерную) призму с 2v вершинами, [math]\displaystyle{ 2e + v }[/math] рёбрами, [math]\displaystyle{ 2f + e }[/math] гранями и [math]\displaystyle{ 2 + f }[/math] ячейками.
- Берём 4-мерный многогранник с v вершинами, e рёбрами, f гранями и c ячейками. Получаем (5-мерную) призму с 2v вершинами, [math]\displaystyle{ 2e + v }[/math] рёбрами, [math]\displaystyle{ 2f + e }[/math] (2-мерными) гранями, [math]\displaystyle{ 2c + f }[/math] ячейками и [math]\displaystyle{ 2 + c }[/math] гиперячейками.
Однородные призматические многогранники
Правильный n-многогранник, представленный символом Шлефли {p, q, ..., t}, может образовать однородный призматический многогранник размерности (n + 1), представленный прямым произведением двух символов Шлефли: {p, q, ..., t}×{}.
По размерностям:
- Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок, представленный пустым символом Шлефли {}.
- Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник, полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом, запись можно сократить: {}×{} = {4}.
Пример: Квадрат, {}×{}, два параллельных отрезка, соединённые двумя другими отрезками, сторонами.
- многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника {p} можно получить однородную n-угольную призму, представленную произведением {p}×{}. Если p = 4, призма становится кубом: {4}×{} = {4, 3}.
Пример: Пятиугольная призма, {5}×{}, два параллельных пятиугольника связаны пятью прямоугольными сторонами.
- 4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника {p, q} можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением {p, q}×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
Пример: додекаэдральная призма, {5, 3}×{}, два параллельных додекаэдра, соединённых 12 пятиугольными призмами (сторонами).
- …
Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами, которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом {p}×{q}.
| Многоугольник | 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Мозаика | 
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| Конфигурация | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | 17.4.4 | ∞.4.4 |
Скрученная призма и антипризма
Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q-угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{q} }[/math] радиан ([math]\displaystyle{ \frac{180}{q} }[/math] градусов), в направлении, при котором стороны становятся вогнутыми[3][4].
Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Простейший пример с треугольными основаниями называется многогранником Шёнхардта.
Скрученная призма топологически идентична антипризме, но имеет половину симметрий: Dn, [n,2]+, порядка 2n. Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.
| Треугольная | Четырёхугольные | 12-угольная | |
|---|---|---|---|
 Многогранник Шёнхардта |
 Скрученная квадратная антипризма |
 Квадратная антипризма |
 Скрученная двенадцатиугольная антипризма |
Связанные многогранники и мозаики
| Многоугольник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Мозаика |
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| Конфигурация | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | 17.4.4 | ∞.4.4 |
Симметрии
Призмы топологически являются частью последовательности однородных усечённых многогранников с конфигурациями вершин (3.2n.2n) и [n,3]. Шаблон:Таблица-1 усечённых фигур
Призмы топологически являются частью последовательности скошенных многогранников с вершинными фигурами (3.4.n.4) и мозаик на гиперболической плоскости. Эти вершинно транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную симметрию.
Шаблон:Малая таблица расширенных мозаик
Соединение многогранников
Существует 4 однородных соединения треугольных призм:
- Соединение четырёх треугольных призм, соединение восьми треугольных призм, соединение десяти треугольных призм, соединение двенадцати треугольных призм.
Соты
Существует 9 однородных сот, включающих ячейки в виде треугольных призм:
- гироудлинённые альтернированные кубические соты,
- удлинённые альтернированные кубические соты,
- повёрнутые треугольные призматические соты,
- плосконосые квадратные призматические соты,
- треугольные призматические соты,
- треугольно-шестиугольные призматические соты,
- усечённые шестиугольные призматические соты,
- ромботришестиугольные призматические соты,
- плосконосые шестиугольные призматические соты,
- удлинённые треугольные призматические соты.
Связанные многогранники
Треугольная призма является первым многогранником в ряду полуправильных многогранников. Каждый последующий однородный многогранник содержит в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. Торольд Госсет идентифицировал эту серию в 1900 как содержащую все фасеты правильных многомерных многогранников, все симплексы и ортоплексы (правильные треугольники и квадраты для случая треугольных призм). В нотации Коксетера треугольная призма задаётся символом −121. Шаблон:Многогранники K 21
Четырёхмерное пространство
Треугольная призма служит ячейкой во множестве четырёхмерных однородных 4-мерных многогранников, включая:
См. также
Примечания
- ↑ Kern, Bland, 1938, с. 28.
- ↑ Усечённая призма // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
- ↑ Gorini, 2003, с. 172.
- ↑ Рисунки скрученных призм. Дата обращения: 28 января 2019. Архивировано 29 января 2019 года.
Литература
- William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. — 1938.
- Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York: Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file). — ISBN 0-8160-4875-4.
- Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Prism (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- George Olshevsky. «Prismatic polytope». Glossary for Hyperspace.
- Nonconvex Prisms and Antiprisms (недоступная ссылка с 12-03-2018 [2230 дней])
- Surface Area MATHguide
- Volume MATHguide
- Paper models of prisms and antiprisms Развёртки призм и антипризм
- Paper models of prisms and antiprisms Развёртки, созданные системой Stella.
- Stella: Polyhedron Navigator: Программы для создания 3D- и 4D-изображений, приведённых на этой странице.
 | Для улучшения этой статьи желательно: |