Преобразования Галилея

Преобразова́ния Галиле́я — в классической механике (механике Ньютона) и нерелятивистской квантовой механике: преобразования координат и скорости при переходе от одной инерциальной системы отсчёта (ИСО) к другой^[1]. Термин был предложен Филиппом Франком в 1909 году^[2]. Преобразования Галилея опираются на принцип относительности Галилея, который подразумевает одинаковость времени во всех системах отсчёта («абсолютное время»^[3]).

Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для скоростей, малых по сравнению со скоростью света в вакууме и в ограниченном объёме пространства. Для скоростей вплоть до порядка скоростей движения планет в Солнечной системе (и даже бо́льших), преобразования Галилея приближённо верны с очень большой точностью.

Требование (постулат) принципа относительности вместе с преобразованиями Галилея, представляющимися достаточно интуитивно очевидными, можно считать во многом определяющим структуру ньютоновской механики. Вместе же с такими дополнительными идеями, как симметрия пространства и принцип суперпозиции в том или ином виде (утверждающий эквивалентность взаимодействия многих тел в малый промежуток времени композиции воображаемых последовательных попарных взаимодействий этих тел), преобразования Галилея могут быть практически достаточным основанием для формулировки ньютоновской механики (вывода её основных законов).

Вид преобразований при коллинеарных осях^[4]

Если ИСО S' движется относительно ИСО S с постоянной скоростью [math]\displaystyle{ u \ }[/math] вдоль оси [math]\displaystyle{ x \ }[/math], а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид:

[math]\displaystyle{ x = x' + u t , \ }[/math]

[math]\displaystyle{ {y} = y' , \ }[/math]

[math]\displaystyle{ {z} = z' , \ }[/math]

[math]\displaystyle{ t = t' \ }[/math]

или, используя векторные обозначения,

[math]\displaystyle{ \vec {r} = \vec {r}' + \vec u t , \ }[/math]

[math]\displaystyle{ t = t' \ }[/math]

(последняя формула остаётся верной для любого направления осей координат).

Как видим, это просто формулы для сдвига начала координат, линейно зависящего от времени (подразумеваемого одинаковым для всех систем отсчёта).

Из этих преобразований следуют соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах отсчёта:

[math]\displaystyle{ \vec {v} = \vec {v'} + \vec u , }[/math]

[math]\displaystyle{ \vec {a} = \vec {a'} }[/math]

Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для малых скоростей [math]\displaystyle{ u \ll c }[/math] (много меньше скорости света).

Группа Галилея

Группой Галилея называется совокупность преобразований класса инерциальных систем отсчёта в себя, объединённая с временными трансляциями.^[5] Основные преобразования группы Галилея также являются группами:

Трансляции времени, соответствующие изменению начала отсчёта времени: [math]\displaystyle{ P_{0}: t \rightarrow t' = t + \tau, \mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x'} = \mathbf{x} }[/math]
Трансляции пространства, соответствующие изменению начала отсчёта координат: [math]\displaystyle{ P_{3}: t \rightarrow t' = t, \mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x'} = \mathbf{x} + \mathbf{a} }[/math]
Преобразования Галилея, связывающие системы отсчёта, движущиеся с относительной скоростью [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math]:[math]\displaystyle{ K: t \rightarrow t' = t, x_{k} \rightarrow x_{k}' = - v_{k}t + x_{k} }[/math]
Поворот декартовых осей:[math]\displaystyle{ R: t \rightarrow t' = t, x_{k} \rightarrow x_{k}' = R_{kl}x_{l} }[/math]. Образуют специальную ортогональную группу трёхмерного пространства [math]\displaystyle{ SO(3) }[/math].

здесь [math]\displaystyle{ t }[/math] - время, [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] - координаты в евклидовом пространстве [math]\displaystyle{ R^{3} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math] - относительная скорость систем отсчёта, [math]\displaystyle{ R }[/math] - ортогональная матрица.

Генераторы группы Галилея

Обозначим как [math]\displaystyle{ l_{k} }[/math] генераторы группы вращений, [math]\displaystyle{ P_{\mu}, \mu = 0. 1, 2, 3 }[/math] - генераторы пространственно-временных трансляций, [math]\displaystyle{ K_{i}, i = 1, 2, 3 }[/math] - генераторы преобразований Галилея, символ [math]\displaystyle{ [ ... , ... ] }[/math] - коммутатор алгебры Ли. Генераторы группы Галилея связаны следующими коммутационными соотношениями:^[6]

[math]\displaystyle{ [l_{k}, l_{m}] = \varepsilon_{kmn} l_{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ [l_{k}, P_{m}] = \varepsilon_{kmn} P_{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ [l_{k}, K_{m}] = \varepsilon_{kmn} K_{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ [l_{k}, P_{0}] = [P_{\mu}, P_{\nu}] = [K_{m}, K_{n}] = [P_{m}, K_{n}] = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ [P_{0}, K_{m}] = P_{m} }[/math]

здесь: [math]\displaystyle{ k, m, n = 1, 2, 3; \mu, \nu = 0, 1, 2, 3 }[/math], [math]\displaystyle{ \varepsilon_{kmn} }[/math] - структурные константы алгебры [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] - матриц.

Формула преобразования скоростей

Достаточно продифференцировать [math]\displaystyle{ \vec r }[/math] в формуле преобразований Галилея, приведённой выше, и сразу же получится приведённая в том же параграфе рядом формула преобразования скорости.

Приведём более элементарный, но и более общий вывод — для случая произвольного движения начала отсчёта одной системы относительно другой (при отсутствии вращения). Для такого более общего случая, можно получить формулу преобразования скоростей, например, так.

Рассмотрим преобразование произвольного сдвига начала отсчёта на вектор [math]\displaystyle{ \vec r_o }[/math],

где радиус-вектор какого-то тела A в системе отсчёта K обозначим за [math]\displaystyle{ \vec r }[/math], а в системе отсчёта K' — за [math]\displaystyle{ \vec {r'} }[/math],

подразумевая, как всегда в классической механике, что время [math]\displaystyle{ t }[/math] в обеих системах отсчёта одно и то же, а все радиус-векторы зависят от этого времени: [math]\displaystyle{ \vec r_o = \vec r_o(t), \vec r = \vec r(t), \vec {r'} = \vec {r'}(t) }[/math].

Тогда в любой момент времени

[math]\displaystyle{ \vec r = \vec r_o + \vec {r'} }[/math]

и в частности, учитывая

[math]\displaystyle{ \Delta \vec r = \vec r (t+\Delta t) - \vec r (t),~ \Delta \vec r_o = \vec r_o (t+\Delta t) - \vec r_o (t),~ \Delta \vec {r'} = \vec {r'} (t+\Delta t)-\vec {r'} (t) }[/math],

имеем:

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} \vec r (t) = \vec r_o (t) + \vec {r'} (t)\\ \vec r (t+\Delta t) = \vec r_o (t+\Delta t) + \vec {r'} (t+\Delta t) \end{matrix} {\Bigg\}} \quad \Rightarrow \quad \Delta \vec r = \Delta \vec r_o + \Delta \vec {r'} \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} = \frac{\Delta \vec r_o}{\Delta t} + \frac{\Delta \vec {r'}}{\Delta t} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Rightarrow \quad \langle\vec V\rangle = \langle\vec V_o\rangle + \langle\vec{V'}\rangle }[/math]

где:

[math]\displaystyle{ \langle\vec V\rangle }[/math] — средняя скорость тела A относительно системы K;

[math]\displaystyle{ \langle\vec V'\rangle }[/math] — средняя скорость тела А относительно системы K' ;

[math]\displaystyle{ \langle\vec V_o\rangle }[/math] — средняя скорость системы K' относительно системы K.

Если [math]\displaystyle{ \Delta t \rightarrow 0 }[/math] то средние скорости совпадают с мгновенными:

[math]\displaystyle{ \vec V \;= \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\; \Bigg( \langle\vec V_o\rangle +\langle\vec{V'}\rangle \Bigg) = \vec V_o + \vec{V'} }[/math]

или короче

[math]\displaystyle{ \vec V \;= \vec V_o + \vec{V'} }[/math]

— как для средних, так и для мгновенных скоростей (формула сложения скоростей).

Таким образом, скорость тела относительно неподвижной системы координат равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы координат и скорости системы отсчёта относительно неподвижной системы отсчёта.

(Аналогично можно получить формулу преобразования ускорений при переходе из одной системы координат в другую, верную при условии, что движение систем друг относительно друга равноускоренное и поступательное: [math]\displaystyle{ \vec a = \vec {a'} + \vec{a_o} }[/math]).