Предельная точка

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Определение и типы предельных точек

Точка [math]\displaystyle{ x }[/math] называется предельной точкой подмножества [math]\displaystyle{ A }[/math] в топологическом пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math], если всякая проколотая окрестность точки [math]\displaystyle{ x }[/math] имеет с [math]\displaystyle{ A }[/math] непустое пересечение.

Точка [math]\displaystyle{ x }[/math] называется точкой накопления подмножества [math]\displaystyle{ A }[/math], если всякая окрестность точки [math]\displaystyle{ x }[/math] имеет с [math]\displaystyle{ A }[/math] бесконечное число общих точек. Для T₁-пространств (то есть пространств, у которых все точки (одноточечные множества) замкнуты), понятия предельная точка и точка накопления равносильны.

Точка [math]\displaystyle{ x }[/math] называется точкой конденсации подмножества [math]\displaystyle{ A }[/math], если всякая окрестность точки [math]\displaystyle{ x }[/math] содержит несчётное множество точек [math]\displaystyle{ A }[/math].

Точка [math]\displaystyle{ x }[/math] называется точкой полного накопления подмножества [math]\displaystyle{ A }[/math], если для всякой окрестности [math]\displaystyle{ U }[/math] точки [math]\displaystyle{ x }[/math] мощность пересечения [math]\displaystyle{ U\cap A }[/math] равна мощности множества [math]\displaystyle{ A }[/math].

Связанные понятия и свойства

• Точка [math]\displaystyle{ x }[/math] называется точкой прикосновения подмножества [math]\displaystyle{ A }[/math] в топологическом пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math], если всякая окрестность точки [math]\displaystyle{ x }[/math] имеет с [math]\displaystyle{ A }[/math] непустое пересечение. Множество всех точек прикосновения множества [math]\displaystyle{ A }[/math] составляет его замыкание [math]\displaystyle{ \bar A }[/math].

• Изолированной называется такая точка [math]\displaystyle{ x \in A }[/math], у которой есть окрестность, не имеющая с [math]\displaystyle{ A }[/math] других общих точек, кроме [math]\displaystyle{ x }[/math]. Подмножество в [math]\displaystyle{ A }[/math], состоящее из одной этой точки, является открытым в [math]\displaystyle{ A }[/math] (в индуцированной топологии).

• Таким образом, все точки прикосновения любого множества [math]\displaystyle{ A \subset X }[/math] (то есть точки замыкания [math]\displaystyle{ \bar A }[/math]) делятся на два вида: предельные и изолированные точки [math]\displaystyle{ A }[/math]. Вторые составляют подмножество [math]\displaystyle{ A }[/math], первые же могут как принадлежать, так и не принадлежать ему.

• Совокупность всех предельных точек множества [math]\displaystyle{ A }[/math] называется его произво́дным мно́жеством и обозначается [math]\displaystyle{ A' }[/math]. Все предельные точки множества входят в его замыкание [math]\displaystyle{ \bar A }[/math]. Более того, справедливо равенство: [math]\displaystyle{ \bar A = A \cup A' }[/math], из которого легко получается следующий критерий замкнутости подмножеств: Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки.

• Если [math]\displaystyle{ x }[/math] — предельная точка множества [math]\displaystyle{ A }[/math], то существует направление точек из [math]\displaystyle{ A }[/math], сходящееся к [math]\displaystyle{ x }[/math].

• В метрических пространствах, если [math]\displaystyle{ x }[/math] — предельная точка множества [math]\displaystyle{ A }[/math], то существует последовательность точек из [math]\displaystyle{ A }[/math] сходящаяся к [math]\displaystyle{ x }[/math]. Топологические пространства, для которых выполняется это свойство, называются пространствами Фреше — Урысона.
• Топологическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в [math]\displaystyle{ X }[/math].

• Топологическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] счётно компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну строгую предельную точку в [math]\displaystyle{ X }[/math]. Всякий компакт счётно компактен. Для метрических пространств верно и обратное (критерий компактности метрического пространства): метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно счётно компактно.

(В частности, поскольку отрезок прямой компактен, то он счётно компактен. Следовательно, всякое бесконечное ограниченное подмножество прямой имеет хотя бы одну предельную точку.)

• Замкнутое множество в хаусдорфовом пространстве называется совершенным, если каждая его точка является предельной (то есть, если множество не содержит изолированных точек). Примерами совершенных множеств могут служить отрезок прямой, множество Кантора.

Примеры

• Рассмотрим множество вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:
  • [math]\displaystyle{ (a,b)' = [a,b]; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}' = \mathbb{R}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] — множество рациональных чисел;
  • [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}' = \varnothing, }[/math] где [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] — множество целых чисел;
• Пусть [math]\displaystyle{ \omega_1 }[/math] — первый несчётный ординал. Рассмотрим [math]\displaystyle{ [0, \omega_1] }[/math] — ординал [math]\displaystyle{ \omega_1 + 1 }[/math] с порядковой топологией. Точка [math]\displaystyle{ \omega_1 }[/math] является предельной точкой множества [math]\displaystyle{ [0, \omega_1) }[/math], однако не существует последовательности из элементов этого множества, сходящейся к [math]\displaystyle{ \omega_1 }[/math].

Предельная точка числового множества

В частности, предельной точкой числового множества, имеющего бесконечное число элементов, называется точка числовой прямой, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этого множества. Также можно считать предельной точкой такого множества [math]\displaystyle{ -\infty }[/math], если из некоторых его элементов можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными отрицательными элементами. Если же можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными положительными элементами, то можно считать предельной точкой [math]\displaystyle{ +\infty }[/math].

Верхняя предельная точка числового множества — это наибольшая из его предельных точек.

Нижняя предельная точка числового множества — это наименьшая из его предельных точек.

Свойства

• У любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, существуют и верхняя, и нижняя предельные точки (в множестве вещественных чисел). Если добавить в множество вещественных чисел [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] и [math]\displaystyle{ +\infty }[/math], то в получившемся множестве предельные точки имеют вообще все числовые множества с бесконечным числом элементов.

• Из элементов любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, можно выделить сходящуюся последовательность, элементы которой попарно различны.

Предельная точка числовой последовательности

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности.

[math]\displaystyle{ x }[/math] — предельная точка последовательности [math]\displaystyle{ \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0 ~ \exists X \subseteq \N \colon \left| X \right| = \alef_0 \land \forall i \in X \colon \left| x_i - x\right| \lt \varepsilon }[/math]

Наибольшая предельная точка последовательности называется её верхним пределом, а наименьшая предельная точка — нижним пределом.

Иногда во множество возможных предельных точек включают «[math]\displaystyle{ -\infty }[/math]» и «[math]\displaystyle{ +\infty }[/math]». Так, если из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой отрицательны, то говорят, что «[math]\displaystyle{ -\infty }[/math]» является предельной точкой этой последовательности. Если же из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность с исключительно положительными элементами, то говорят, что «[math]\displaystyle{ +\infty }[/math]» является её предельной точкой. При этом, разумеется, у последовательности могут быть и другие предельные точки.

Свойства

• Точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к этой точке (то есть точка является частичным пределом последовательности).

  [math]\displaystyle{ x }[/math] — предельная точка последовательности [math]\displaystyle{ \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \Leftrightarrow \exists \left\{ k_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \forall i \in \N \colon k_{i} \lt k_{i + 1} \land \lim_{n \to \infty} x_{k_n} = x }[/math]

  Иногда это свойство принимают за определение, а приведённое выше определение — за свойство.

• Всякая сходящаяся числовая последовательность имеет только одну предельную точку.

  [math]\displaystyle{ x, x' }[/math] — предельные точки последовательности [math]\displaystyle{ \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \land \exists \lim_{n \to \infty} x_n \Rightarrow x = x' }[/math]

• Предельная точка любой сходящейся числовой последовательности совпадает с её пределом.

  [math]\displaystyle{ x }[/math] — предельная точка последовательности [math]\displaystyle{ \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \land \exists \lim_{n \to \infty} x_n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} x_n = x }[/math]

• Для любого конечного множества точек можно построить последовательность, для которой эти точки будут являться предельными и никакие, кроме них.
• У произвольной числовой последовательности имеется хотя бы одна предельная точка (либо вещественная, либо бесконечность).

Примеры

• У последовательности из единиц [math]\displaystyle{ \left\{ 1 \right\}_{n = 1}^{\infty} }[/math] существует единственная предельная точка 1 (хотя она не является предельной точкой множества значений элементов последовательности, состоящего из одного элемента).
• У последовательности [math]\displaystyle{ \left\{ 1 / n \right\}_{n = 1}^{\infty} }[/math] существует единственная предельная точка 0.
• У последовательности натуральных чисел [math]\displaystyle{ \left\{ n \right\}_{n = 1}^{\infty} }[/math] нет предельных точек (или, в других терминах, имеется предельная точка [math]\displaystyle{ +\infty }[/math]).
• У последовательности [math]\displaystyle{ \left\{ \left( -1 \right)^n \right\}_{n = 1}^{\infty} }[/math] существуют две предельные точки: −1 и +1.
• У последовательности из всех рациональных чисел [math]\displaystyle{ \left\{ q_n \right\}_{n = 1}^{\infty} }[/math], занумерованных произвольным образом, существует бесконечно много предельных точек.

Предельная точка направления

Пусть [math]\displaystyle{ \left\{x_\alpha\right\}_{\alpha \in \Alpha} }[/math] — направление элементов топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ x }[/math] называется предельной точкой направления, если для любой окрестности [math]\displaystyle{ U }[/math] точки [math]\displaystyle{ x }[/math] и для любого [math]\displaystyle{ \alpha \in \Alpha }[/math] найдётся индекс [math]\displaystyle{ \beta \in \Alpha }[/math] такой что [math]\displaystyle{ \beta \geqslant \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ x_\beta \in U }[/math]

Свойства

• Точка является предельной точкой направления тогда и только тогда, когда существует поднаправление, сходящееся к этой точке.
  • В частности, точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда существует поднаправление, сходящееся к этой точке.
  • Если каждая точка топологического пространства обладает счётной базой, то в предыдущем пункте можно говорить о подпоследовательностях.

Примеры

Пусть [math]\displaystyle{ A = [0,1) }[/math] — направлено по возрастанию. У направления [math]\displaystyle{ \left\{\alpha\right\}_{\alpha \in A} }[/math] существует единственная предельная точка [math]\displaystyle{ {1} }[/math] в топологическом пространстве [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math].

См. также

• Изолированная точка

Литература

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. — 752 с.