Правильный шестиугольник
| Шестиугольник | |
|---|---|
 Правильный шестиугольник | |
| Тип | Правильный многоугольник |
| Рёбра | 6 |
| Символ Шлефли | {6}, t{3} |
| Диаграмма Коксетера — Дынкина |
    |
| Вид симметрии | Диэдрическая группа (D6) |
| Площадь |
[math]\displaystyle{ \frac{3 \sqrt 3}{2} R^2 }[/math] [math]\displaystyle{ = \frac{3 \sqrt 3}{2} t^2 }[/math] [math]\displaystyle{ = 2 \sqrt 3 r^2 }[/math] |
| Внутренний угол | 120° |
| Свойства | |
| выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный, изотоксальный | |
Правильный шестиугольник (или гексагон от греч. εξάγωνο) — правильный многоугольник с шестью сторонами.
Свойства
- Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны и радиуса описанной окружности ([math]\displaystyle{ R = t }[/math]), поскольку [math]\displaystyle{ 2 \sin \frac{\pi}{6} = 1 }[/math].
- Все углы равны 120°.
- Радиус вписанной окружности равен:
- [math]\displaystyle{ r = \frac{\sqrt 3}{2} R = \frac{\sqrt 3}{2} t }[/math]
- Периметр правильного шестиугольника равен:
- [math]\displaystyle{ P = 6 R = 4 \sqrt 3 r }[/math]
- Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам:
- [math]\displaystyle{ S = \frac{3 \sqrt 3}{2} R^2 = \frac{3 \sqrt 3}{2} t^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ S = 2 \sqrt 3 r^2 }[/math]
- Шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).
- Правильный шестиугольник со стороной [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt 3} }[/math] является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра 1 можно покрыть правильным шестиугольником со стороной [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt 3} }[/math] (лемма Пала)[1].
Построение
Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.
Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре
- Пчелиные соты показывают разбиение плоскости на правильные шестиугольники.
- Некоторые сложные молекулы углерода (напр., графит) имеют гексагональную кристаллическую решётку.
- Гигантский гексагон — атмосферное явление на Сатурне.
- Сечение гайки и многих карандашей имеет вид правильного шестиугольника.
- Игровое поле гексагональных шахмат составляют шестиугольники, в отличие от квадратов традиционной шахматной доски.
- Гексаграмма — шестиконечная звезда, образованная двумя правильными треугольниками. Под названием звезда Давида она является символом иудаизма.
- Гексагоном иногда называют материковую часть Франции, потому что её географические очертания напоминают данную геометрическую фигуру.
 |
 |
 | ||||||||
Слева направо:
Пчелиные соты; Графен — одна из аллотропных модификаций углерода; Гигантский гексагон. | ||||||||||
Примечания
- ↑ А. М. Райгородский. Проблема Борсука. — М.: Издательство МЦНМО, 2006. — С. 9. — 56 с. — (Библиотека „Математическое просвещение“). — ISBN ISBN 5-94057-249-9.
