Правильный треугольник

Правильный треугольник.

Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства

Правильный тетраэдр состоит из четырёх правильных треугольников.

Пусть a — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

• Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:

[math]\displaystyle{ r = \frac{\sqrt 3}{6} a }[/math]

• Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:

[math]\displaystyle{ R = \frac{\sqrt 3}{3} a }[/math]

• Периметр правильного треугольника:

[math]\displaystyle{ P = 3a = 3 \sqrt 3 R = 6 \sqrt 3 r }[/math]

• Высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника:

[math]\displaystyle{ h = m = l = \frac{\sqrt 3}{2} a }[/math]

• Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:

[math]\displaystyle{ S = \frac{\sqrt 3}{4} a^2 = \frac{3 \sqrt 3}{4} R^2 = 3 \sqrt 3 r^2 = \frac{\sqrt 3}{36} P^2 }[/math]

• Радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности:

[math]\displaystyle{ R = 2r }[/math]

• Правильными треугольниками можно замостить плоскость.

• В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает с вписанной окружностью.

• Для равностороннего треугольника T группа движений (самосовмещений) плоскости, переводящих треугольник в себя, состоит из 6 элементов: трёх поворотов на углы 0, ^2π⁄₃ и ^4π⁄₃ вокруг точки O, а также трёх симметрий относительно трёх прямых, на которых лежат биссектрисы треугольника (последние являются также его высотами и медианами).
• На описанной окружности произвольного треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math] существуют ровно три точки такие, что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math], причем эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.
• Равносторонний треугольник является одновременно и равноугольным треугольником, то есть у него равны все внутренние углы.
• Равносторонний треугольник является частными случаем равнобедренного треугольника, а именно: дважды равнобедренным треугольником.

Правильный сферический треугольник

Для любого значения в интервале от 60 до 180 градусов существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.

Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его

• Задача Наполеона
• Прямая Симсона одно из свойств
• Теорема Вивиани
• Теорема Морли
• Теорема Наполеона
• Теорема Помпею
• Теоремы Тебо 2 и 3
• Точки Аполлония
• Точки Торричелли

См. также

• Замечательные прямые треугольника
• Замечательные точки треугольника
• Равнобедренный треугольник
• Теорема Чевы
• Треугольник
• Треугольник Рёло