Правильный многоугольник

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Правильный многоугольник
Правильный восьмиугольникПравильный восьмиугольник
Тип Многоугольник
Символ Шлефли [math]\displaystyle{ \{n\} }[/math]
Вид симметрии Диэдрическая группа [math]\displaystyle{ (\mathrm{D}_5) }[/math]
Площадь [math]\displaystyle{ S = \frac{n}{4}\ a^2 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{n} }[/math]
Внутренний угол [math]\displaystyle{ (n-2)*180^{\circ } }[/math]
Свойства
выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный

Пра́вильный многоуго́льник — выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы между смежными сторонами.

Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника: если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Связанные определения

  • Центральным углом правильного многоугольника называется центральный угол его описанной окружности, опирающийся на его сторону. Величина центрального угла правильного [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольника равна [math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{n} }[/math].[1][2]

Свойства

Координаты

Пусть [math]\displaystyle{ x_C }[/math] и [math]\displaystyle{ y_C }[/math] — координаты центра, а [math]\displaystyle{ R }[/math] — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, [math]\displaystyle{ {\phi}_0 }[/math] — угловая координата первой вершины относительно центра, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:

[math]\displaystyle{ x_i = x_C + R \cos \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right) }[/math]
[math]\displaystyle{ y_i = y_C + R \sin \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right) }[/math]

где [math]\displaystyle{ i }[/math] принимает значения от [math]\displaystyle{ 0 }[/math] до [math]\displaystyle{ n-1 }[/math].

Размеры

Правильный многоугольник, вписанный и описанный около окружности

Пусть [math]\displaystyle{ R }[/math] — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

[math]\displaystyle{ r = R \cos \frac{\pi}{n} }[/math],

а длина стороны многоугольника равна

[math]\displaystyle{ a = 2R \sin \frac{\pi}{n} = 2r \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{n} }[/math]

Площадь

Площадь правильного многоугольника с числом сторон [math]\displaystyle{ n }[/math] и длиной стороны [math]\displaystyle{ a }[/math] составляет:

[math]\displaystyle{ S = \frac{n}{4}\ a^2 \mathop{\mathrm{}}\, \operatorname{ctg} \frac{\pi}{n} }[/math].

Площадь правильного многоугольника с числом сторон [math]\displaystyle{ n }[/math], вписанного в окружность радиуса [math]\displaystyle{ R }[/math], составляет:

[math]\displaystyle{ S = \frac{n}{2}R^2 \sin \frac{2 \pi}{n} }[/math].

Площадь правильного многоугольника с числом сторон [math]\displaystyle{ n }[/math], описанного вокруг окружности радиуса [math]\displaystyle{ r }[/math], составляет:

[math]\displaystyle{ S = nr^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{n} }[/math]

Площадь правильного многоугольника с числом сторон [math]\displaystyle{ n }[/math] равна

[math]\displaystyle{ S = \frac{nra}{2} = \frac{1}{2}Pr }[/math],

где [math]\displaystyle{ r }[/math] — радиус вписанной окружности многоугольника, [math]\displaystyle{ a }[/math] — длина его стороны, а [math]\displaystyle{ P }[/math] - его периметр.

Периметр

Если нужно вычислить длину стороны [math]\displaystyle{ a_n }[/math] правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности [math]\displaystyle{ L }[/math] можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

[math]\displaystyle{ a_n }[/math] — длина стороны правильного n-угольника.
[math]\displaystyle{ a_n = \sin\Big(\frac{\pi}{n}\Big) \cdot \frac{L}{\pi} }[/math]

Периметр [math]\displaystyle{ P_n }[/math] равен

[math]\displaystyle{ P_n = a_n \cdot n }[/math]

где [math]\displaystyle{ n }[/math] — число сторон многоугольника.

Свойства диагоналей правильных многоугольников

  • Максимальное количество диагоналей правильного [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольника, пересекающихся в одной точке, не являющейся его вершиной или центром, равно:
    • [math]\displaystyle{ 2 }[/math], если [math]\displaystyle{ n }[/math] нечётно;
    • [math]\displaystyle{ 3 }[/math], если [math]\displaystyle{ n }[/math] чётно, но не делится на [math]\displaystyle{ 6 }[/math];
    • [math]\displaystyle{ 5 }[/math], если [math]\displaystyle{ n }[/math] делится на [math]\displaystyle{ 6 }[/math], но не делится на [math]\displaystyle{ 30 }[/math];
    • [math]\displaystyle{ 7 }[/math], если [math]\displaystyle{ n }[/math] делится на [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
Существуют лишь три исключения: данное число равно [math]\displaystyle{ 0 }[/math] в треугольнике, [math]\displaystyle{ 2 }[/math] в шестиугольнике и [math]\displaystyle{ 4 }[/math] в двенадцатиугольнике.[3].
При чётном [math]\displaystyle{ n }[/math] в центре многоугольника пересекается [math]\displaystyle{ n/2 }[/math] диагонали.

Введём функцию [math]\displaystyle{ \delta_m(n) }[/math], равную [math]\displaystyle{ 1 }[/math] в случае, если [math]\displaystyle{ n }[/math] делится на [math]\displaystyle{ m }[/math], и равную [math]\displaystyle{ 0 }[/math] в противном случае. Тогда:

  • Количество точек пересечения диагоналей правильного [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольника равно
[math]\displaystyle{ \begin{array}{l}C_n^4+\left(-5 n^{3}+45 n^{2}-70 n+24\right) / 24 \cdot \delta_{2}(n)-(3 n / 2) \cdot \delta_{4}(n)+ \\ +\left(-45 n^{2}+262 n\right) / 6 \cdot \delta_{6}(n)+42 n \cdot \delta_{12}(n)+60 n \cdot \delta_{18}(n)+ \\ +35 n \cdot \delta_{24}(n)-38 n \cdot \delta_{30}(n)-82 n \cdot \delta_{42}(n)-330 n \cdot \delta_{60}(n)- \\ -144 n \cdot \delta_{84}(n)-96 n \cdot \delta_{90}(n)-144 n \cdot \delta_{120}(n)-96 n \cdot \delta_{210}(n) \end{array} }[/math]
Где [math]\displaystyle{ C_n^4 }[/math] - число сочетаний из [math]\displaystyle{ n }[/math] по [math]\displaystyle{ 4 }[/math][3].
  • Количество частей, на которые правильный [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольник делят его диагонали, равно
[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} \left(n^{4}-6 n^{3}+23 n^{2}-42 n+24\right) / 24+ \\ +\left(-5 n^{3}+42 n^{2}-40 n-48\right) / 48 \cdot \delta_{2}(n)-(3 n / 4) \cdot \delta_{4}(n)+ \\ +\left(-53 n^{2}+310 n\right) / 12 \cdot \delta_{6}(n)+(49 n / 2) \cdot \delta_{12}(n)+32 n \cdot \delta_{18}(n)+ \\ +19 n \cdot \delta_{24}(n)-36 n \cdot \delta_{30}(n)-50 n \cdot \delta_{42}(n)-190 n \cdot \delta_{60}(n)- \\ -78 n \cdot \delta_{84}(n)-48 n \cdot \delta_{90}(n)-78 n \cdot \delta_{120}(n)-48 n \cdot \delta_{210}(n) \end{array} }[/math]
[3].

Применение

Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников.

Древнегреческие математики (Антифонт, Брисон Гераклейский, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.[4]

История

Построение циркулем и линейкой правильного многоугольника с [math]\displaystyle{ n }[/math] сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на [math]\displaystyle{ n }[/math] равных частей, так как, соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Евклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для [math]\displaystyle{ n = 3, 4, 5, 6, 15 }[/math]. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с [math]\displaystyle{ 2^m }[/math] сторонами (при целом [math]\displaystyle{ m\gt 1 }[/math]), имея уже построенный многоугольник с числом сторон [math]\displaystyle{ 2^{m-1} }[/math]: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Евклид указывает и второй критерий построимости: если известно, как строить многоугольники с [math]\displaystyle{ r }[/math] и [math]\displaystyle{ s }[/math] сторонами, и [math]\displaystyle{ r }[/math] и [math]\displaystyle{ s }[/math] взаимно простые, то можно построить и многоугольник с [math]\displaystyle{ r\cdot s }[/math] сторонами. Это достигается построением многоугольника с [math]\displaystyle{ s }[/math] сторонами и многоугольника с [math]\displaystyle{ r }[/math] сторонами так, чтобы они были вписаны в одну окружность и чтобы одна вершина у них была общей - в таком случае некоторые две вершины этих многоугольников будут являться соседними вершинами [math]\displaystyle{ rs }[/math]-угольника. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с [math]\displaystyle{ 2^m\cdot3 }[/math], [math]\displaystyle{ 2^m\cdot5 }[/math] и [math]\displaystyle{ 2^m\cdot3\cdot5 }[/math] сторонами при любом целом неотрицательном [math]\displaystyle{ m }[/math].

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие простые числа Ферма: [math]\displaystyle{ 3, 5, 17, 257, 65537 }[/math]. Вопрос о наличии или отсутствии других таких чисел остаётся открытым. Гаусс, в частности, первым смог доказать возможность построения правильного [math]\displaystyle{ 17 }[/math]-угольника, а под конец жизни завещал выбить его на своём надгробии, однако скульптор отказался выполнять столь сложную работу.[5]

Из результата Гаусса мгновенно следовало, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно [math]\displaystyle{ 2^{k}{p_1}{p_2}\cdots{p_s} }[/math], где [math]\displaystyle{ {k} }[/math] — целое неотрицательное число, а [math]\displaystyle{ {p_j} }[/math] — попарно различные простые числа Ферма. Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году. Итоговая теорема, совмещающая оба результата, называется Теоремой Гаусса-Ванцеля.

Последними результатами в области построения правильных многоугольников являются явные построения 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

См. также

Примечания

  1. ↑ МАТВОКС
  2. ↑ treugolniki.ru. Дата обращения: 12 мая 2020. Архивировано 2 июля 2020 года.
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 Bjorn Poonen and Michael Rubinstein "The number of intersection points made by thediagonals of a regular polygon". Дата обращения: 16 июля 2020. Архивировано 17 июля 2020 года.
  4. ↑ А. В. Жуков. О числе π. — М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.
  5. ↑ Лабуда
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Правильный_многоугольник&oldid=20195639