Построение с помощью циркуля и линейки
Построе́ния с по́мощью ци́ркуля и лине́йки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён.
В задачах на построение циркуль и линейка предполагаются идеальными инструментами, в частности:
- Линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной длины, но только одну.
- Циркуль может иметь какой угодно (большой или малый) раствор (может чертить окружность произвольного радиуса) и сохраняет последний раствор, то есть может проводить одинаковые окружности где угодно.
Примеры
Задача на бисекцию. С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:
- Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.
- Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
- По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q.
- Находим искомую середину отрезка AB — точку пересечения AB и PQ.
Формальное определение
В задачах на построение рассматривается множество следующих объектов: все точки плоскости, все прямые плоскости и все окружности плоскости. В условиях задачи изначально задается (считается построенными) некоторое множество объектов. К множеству построенных объектов разрешается добавлять (строить):
- произвольную точку;
- произвольную точку на заданной прямой;
- произвольную точку на заданной окружности;
- точку пересечения двух заданных прямых;
- точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности;
- точки пересечения/касания двух заданных окружностей;
- произвольную прямую, проходящую через заданную точку;
- прямую, проходящую через две заданные точки;
- произвольную окружность с центром в заданной точке;
- произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками;
- окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками.
Требуется с помощью конечного количества этих операций построить другое множество объектов, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.
Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:
- Описание способа построения заданного множества.
- Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
- Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.
Известные задачи
- Задача Аполлония о построении окружности, касающейся трех заданных окружностей. Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.
- Задача Брахмагупты о построении вписанного четырёхугольника по четырём его сторонам.
Построение правильных многоугольников
Античным геометрам были известны способы построения правильных n-угольников для [math]\displaystyle{ n=2^k }[/math], [math]\displaystyle{ n=3\cdot 2^k }[/math], [math]\displaystyle{ n=5\cdot 2^k }[/math] и [math]\displaystyle{ n=3\cdot5\cdot2^k }[/math].
В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников при [math]\displaystyle{ n=2^k\cdot p_1\cdots p_m }[/math], где [math]\displaystyle{ p_i }[/math] — различные простые числа Ферма. В 1836 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.
Неразрешимые задачи
Следующие три задачи на построение были поставлены ещё древними греками:
- трисекция угла — разбить произвольный угол на три равные части;
- удвоение куба — построить ребро куба вдвое большего по объёму, чем данный куб;
- квадратура круга — построить квадрат, равный по площади данному кругу.
Лишь в XIX веке было строго доказано, что все эти три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Доказательство неразрешимости этих задач построения было достигнуто с помощью алгебраических методов, основанных на теории Галуа[1]. В частности, невозможность построения квадратуры круга следует из трансцендентности числа π.
Другая известная и неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача — построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис[2]. Эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии инструмента, выполняющего трисекцию угла, например томагавка.[3]
Допустимые отрезки для построения с помощью циркуля и линейки
Из подобия треугольников следует: [math]\displaystyle{ BH=\sqrt{AH\cdot HC}=\sqrt{ab}. }[/math] Если принять длину отрезка [math]\displaystyle{ AH }[/math] за единицу, то длина [math]\displaystyle{ BH }[/math] будет численно равна квадратному корню из длины отрезка [math]\displaystyle{ HC }[/math]. Это один из способов построения квадратного корня заданного числа.
С помощью этих инструментов возможно построение отрезка, который по длине:
- равен сумме длин нескольких отрезков;
- равен разности длин двух отрезков;
- численно равен произведению длин двух отрезков;
- численно равен частному от деления длин двух отрезков;
- численно равен квадратному корню из длины заданного отрезка (следует из возможности построения среднего геометрического двух отрезков, см. иллюстрацию).[4]
Для построения отрезка с длиной численно равной произведению, частному и квадратному корню из длин заданных отрезков необходимо задание на плоскости построения единичного отрезка (то есть отрезка длины 1), иначе задача неразрешима из-за отсутствия масштаба. Извлечение корней из отрезков с иными натуральными степенями, не являющимися степенью числа 2, невозможны с помощью циркуля и линейки. Так, например, невозможно при помощи циркуля и линейки из единичного отрезка построить отрезок длиной [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{2} }[/math]. Из этого факта, в частности, следует неразрешимость задачи об удвоении куба.[5]
Возможные и невозможные построения
С формальной точки зрения, решение любой задачи на построение сводится к графическому решению некоторого алгебраического уравнения, причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому можно сказать, что задача на построение сводится к отысканию действительных корней некоторого алгебраического уравнения.
Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определённого типа.
Исходя из возможных построений отрезков возможны следующие построения:
- Построение решений линейных уравнений.
- Построение решений уравнений, сводящихся к решениям квадратных уравнений.
Иначе говоря, возможно строить лишь отрезки, равные арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (заданных длин отрезков).
Решение должно выражаться при помощи квадратных корней, а не радикалов произвольной степени. Если даже алгебраическое уравнение имеет решение в радикалах, то из этого не следует возможность построения циркулем и линейкой отрезка, равного его решению. Простейшее такое уравнение: [math]\displaystyle{ x^3-2=0, }[/math] связанное со знаменитой задачей на удвоение куба, сводящаяся к этому кубическому уравнению. Как было сказано выше, решение этого уравнения ([math]\displaystyle{ \sqrt[3]{2} }[/math]) невозможно построить циркулем и линейкой.
Возможность построить правильный 17-угольник следует из выражения для косинуса центрального угла его стороны:
- [math]\displaystyle{ \cos{\left(\frac{2\pi}{17}\right)} =-\frac{1}{16} \; + \; \frac{1}{16} \sqrt{17} \;+\; \frac{1}{16} \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} \;+\; }[/math]
- [math]\displaystyle{ +\frac{1}{8} \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}} }, }[/math]
- что, в свою очередь, следует из возможности сведения уравнения вида [math]\displaystyle{ x^{F_n}-1=0, }[/math] где [math]\displaystyle{ F_n }[/math] — любое простое число Ферма, с помощью замены переменной к квадратному уравнению.
Вариации и обобщения
- Построения с помощью одного циркуля. По теореме Мора — Маскерони с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.
- Построения с помощью одной линейки. Очевидно, что с помощью одной линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения. В частности,
- невозможно даже разбить отрезок на две равные части,
- также невозможно найти центр данной окружности.
- Однако,
- при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с отмеченным центром с одной линейкой можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой (теорема Штейнера — Понселе).
- Если на линейке есть две засечки, то построения с её помощью эквивалентны построениям с помощью циркуля и линейки (важный шаг в доказательстве этого сделал Наполеон).
- Построения с помощью инструментов с ограниченными возможностями. В задачах такого рода инструменты (в противоположность классической постановке задачи) считаются не идеальными, а ограниченными: прямую через две точки с помощью линейки можно провести только при условии, что расстояние между этими точками не превышает некоторой величины; радиус окружностей, проводимых с помощью циркуля, может быть ограничен сверху, снизу или одновременно и сверху, и снизу.
- Построения с помощью плоского оригами см. правила Фудзиты
- Построения с помощью шарнирных механизмов — это построения на плоскости и в пространстве с помощью единичных стержней, связанных на концах шарнирами. Этим способом можно построить любое алгебраическое число[6].
Интересные факты
- Центральный узор на государственном флаге Ирана законодательно описывается как построение с помощью циркуля и линейки[7].
См. также
- Программные пакеты динамической геометрии позволяют выполнять виртуальные построения с помощью циркуля и линейки на мониторе компьютера.
Примечания
- ↑ Кириченко, 2005, с. 1.
- ↑ Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам? Архивная копия от 18 октября 2009 на Wayback Machine. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
- ↑ Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор Архивная копия от 26 августа 2015 на Wayback Machine. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
- ↑ Кириченко, 2005, с. 4.
- ↑ Кириченко, 2005, с. 9.
- ↑ Maehara, Hiroshi (1991), Distances in a rigid unit-distance graph in the plane, Discrete Applied Mathematics Т. 31 (2): 193–200, DOI 10.1016/0166-218X(91)90070-D.
- ↑ Стандарт флага Ирана Архивная копия от 21 июня 2012 на Wayback Machine (перс.)
Литература
- Адлер А. Теория геометрических построений / Перевод с немецкого Г. М. Фихтенгольца. — Издание третье. — Л.: Учпедгиз, 1940. — 232 с.
- Александров И. И. Сборник геометрических задач на построение. — Издание восемнадцатое. — М.: Учпедгиз, 1950. — 176 с.
- Аргунов Б. И., Балк М. Б. Геометрические построения на плоскости. Пособие для студентов педагогических институтов. — Издание второе. — М.: Учпедгиз, 1957. — 268 с.
- Воронец А. М. Геометрия циркуля. — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — 40 с. — (Популярная библиотека по математике под общей редакцией Л. А. Люстерника).
- Гейлер В. А. Неразрешимые задачи на построение // СОЖ. — 1999. — № 12. — С. 115—118.
- Кириченко В. А. Построения циркулем и линейкой и теория Галуа // Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2005.
- Манин Ю. И. Книга IV. Геометрия // Энциклопедия элементарной математики. — М.: Физматгиз, 1963. — 568 с.
- Петерсен Ю. Методы и теории решения геометрических задач на построение. — М.: Типография Э. Лисснера и Ю. Романа, 1892. — 114 с.
- Прасолов В. В. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. — М.: Наука, 1992. — 80 с. — (Популярные лекции по математике).
- Геометрические построения // Справочник по математике (для ср. уч. заведений)/ Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 200—213. — 480 с.
- Штейнер Я. Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга. — М.: Учпедгиз, 1939. — 80 с.
- Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 80. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
Ссылки
- Regular polygon constructions by Dr. Math at The Math Forum (англ.)
- Construction with the Compass Only at cut-the-knot (англ.)
- Angle Trisection by Hippocrates at cut-the-knot (англ.)
- Weisstein, Eric W. Angle Trisection (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.