Закон радиоактивного распада
Зако́н радиоакти́вного распа́да — физический закон, описывающий зависимость интенсивности радиоактивного распада от времени и от количества радиоактивных атомов в образце. Открыт Фредериком Содди и Эрнестом Резерфордом, каждый из которых впоследствии был награждён Нобелевской премией. Они обнаружили его экспериментальным путём и опубликовали в 1903 году в работах «Сравнительное изучение радиоактивности радия и тория»[1] и «Радиоактивное превращение»[2], сформулировав следующим образом[3]:
Во всех случаях, когда отделяли один из радиоактивных продуктов и исследовали его активность независимо от радиоактивности вещества, из которого он образовался, было обнаружено, что активность при всех исследованиях уменьшается со временем по закону геометрической прогрессии.
из чего с помощью теоремы Бернулли учёные сделали вывод[4]:
Скорость превращения всё время пропорциональна количеству систем, ещё не подвергнувшихся превращению.
Существует несколько формулировок закона, например, в виде дифференциального уравнения:
- [math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} = -\lambda N, }[/math]
которое означает, что число распадов −dN, произошедшее за короткий интервал времени dt, пропорционально числу атомов N в образце.
Экспоненциальный закон
В указанном выше математическом выражении неотрицательная константа [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] — постоянная распада, которая характеризует вероятность радиоактивного распада за единицу времени и имеющая размерность с−1. Знак минус указывает на убыль числа радиоактивных ядер со временем.
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
- [math]\displaystyle{ N(t) = N_0 e^{-\lambda t}, }[/math]
- где [math]\displaystyle{ N_0 }[/math] — начальное число атомов, то есть число атомов для [math]\displaystyle{ t = 0. }[/math]
Таким образом, число радиоактивных атомов уменьшается со временем по экспоненциальному закону. Скорость распада, то есть число распадов в единицу времени:
- [math]\displaystyle{ \Iota(t) = -\frac{dN}{dt}, }[/math]
также падает экспоненциально. Дифференцируя выражение для зависимости числа атомов от времени, получаем:
- [math]\displaystyle{ \Iota(t) = -\frac{d}{dt} (N_0 e^{-\lambda t}) = \lambda N_0 e^{-\lambda t} = \Iota_0 e^{-\lambda t}, }[/math]
- где [math]\displaystyle{ \Iota_0 }[/math] — скорость распада в начальный момент времени [math]\displaystyle{ t = 0. }[/math]
Таким образом, зависимость от времени числа нераспавшихся радиоактивных атомов и скорости распада описывается одной и той же постоянной [math]\displaystyle{ \lambda }[/math][4][5][6][7].
Характеристики распада
Кроме константы распада [math]\displaystyle{ \lambda, }[/math] радиоактивный распад характеризуют ещё двумя производными от неё константами, рассмотренными ниже.
Среднее время жизни
Из закона радиоактивного распада можно получить выражение для среднего времени жизни радиоактивного атома. Число атомов, в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math] претерпевших распад в пределах интервала [math]\displaystyle{ dt }[/math] равно [math]\displaystyle{ -dN, }[/math] их время жизни равно [math]\displaystyle{ -t dN. }[/math] Среднее время жизни получаем интегрированием по всему периоду распада:
- [math]\displaystyle{ \tau = -\frac{1}{N_0}\int_{N_0}^0 tdN = \lambda \int_0^\infty t e^{-\lambda t}dt = \frac{1}{\lambda}. }[/math]
Подставляя эту величину в экспоненциальные временные зависимости для [math]\displaystyle{ N(t) }[/math] и [math]\displaystyle{ \Iota(t), }[/math] легко видеть, что за время [math]\displaystyle{ \tau }[/math] число радиоактивных атомов и активность образца (количество распадов в секунду) уменьшаются в e раз[4].
Период полураспада
На практике получила большее распространение другая временная характеристика — период полураспада [math]\displaystyle{ T_{1/2}, }[/math] равная времени, в течение которого число радиоактивных атомов или активность образца уменьшаются в 2 раза[4].
Связь этой величины с постоянной распада можно вывести из соотношения [math]\displaystyle{ \frac{N(T_{1/2})}{N_0} = e^{-\lambda T_{1/2}} = 1/2, }[/math] откуда:
- [math]\displaystyle{ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \tau \ln 2 \approx 0,693\tau. }[/math]
Примеры характеристик распада
Существующие в природе радиоактивные изотопы в основном возникают в сложных цепочках распадов урана и тория и имеют периоды полураспада в очень широкой области значений: от 3⋅10−7 секунды для 212Po до 1,4⋅1010 лет для 232Th. Наибольший экспериментально измеренный период полураспада имеет изотоп теллура 128Te — 2,2⋅1024 лет. Само существование в настоящее время многих естественных радиоактивных элементов несмотря на то, что с момента образования этих элементов при звёздном нуклеосинтезе прошло более 4,5 млрд лет, является следствием очень больших периодов полураспада 235U, 238U, 232Th и других природных радионуклидов. К примеру, изотоп 238U стоит в начале длинной цепочки (так называемый ряд радия), состоящей из 20 изотопов, каждый из которых возникает при α-распаде или β-распаде предыдущего элемента. Период полураспада 238U (4,5⋅109 лет) много больше, чем период полураспада любого из последующих элементов радиоактивного ряда, поэтому распад в целом всей цепочки происходит за то же время, что и распад 238U, её родоначальника, в таких случаях говорят, что цепочка находится в состоянии секулярного (или векового) равновесия[7]. Примеры характеристик распада некоторых веществ[8]:
| Вещество | 238U | 235U | 234U | 210Bi | 210Tl |
|---|---|---|---|---|---|
| Период полураспада, [math]\displaystyle{ T_{1/2} }[/math] | 4,5⋅109 лет | 7,13⋅108 лет | 2,48⋅105 лет | 4,97 дня | 1,32 минуты |
| Постоянная распада, [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] | 4,84⋅10−18 с−1 | 8,17⋅10−14 с−1 | 1,61⋅10−6с−1 | 8,75⋅10−3 с−1 | |
| Частица | α | α | α | β | β |
| Полная энергия распада, МэВ[9][10] | 4,2699 | 4,6780 | 4,8575 | 1,1612 | 5,482 |
Интересные факты
Один из открывших закон, Фредерик Содди, в своей научно-популярной книге «The story of atomic energy», изданной в 1949 году, видимо из скромности, ничего не пишет о своём (но и чьём-либо ещё тоже) вкладе в создание этой теории, зато довольно оригинально отзывается о ней[11][12]:
Следует отметить, что закон превращений одинаков для всех радиоэлементов, являясь самым простым и в то же время практически необъяснимым. Этот закон имеет вероятностную природу. Его можно представить в виде духа разрушения, который в каждый данный момент наугад расщепляет определённое количество существующих атомов, не заботясь об отборе тех из них, которые близки к своему распаду.
Примечания
- ↑ Rutherford E. and Soddy F. A comparative study of the radioactivity of radium and thorium (англ.) // Philosophical Magazine Series 6 : journal. — 1903. — Vol. 5, no. 28. — P. 445—457. — doi:10.1080/14786440309462943.
- ↑ Rutherford E. and Soddy F. Radioactive change (неопр.) // Philosophical Magazine Series 6. — 1903. — Т. 5, № 29. — С. 576—591. — doi:10.1080/14786440309462960.
- ↑ Кудрявцев П. С. Открытие радиоактивных преврещений. Идея атомной энергии // Курс истории физики. — 1982. Архивировано 23 ноября 2010 года.
- ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 Климов А. Н. Ядерная физика и ядерные реакторы. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — С. 74—75. — 352 с. Архивировано 23 сентября 2020 года.
- ↑ Бартоломей Г. Г., Байбаков В. Д., Алхутов М. С., Бать Г. А. Основы теории и методы расчета ядерных энергетических реакторов. — М.: Энергоатомиздат, 1982.
- ↑ Cameron I. R. Nuclear fission reactors. — Canada, New Brunswick: Plenum Press, 1982.
- ↑ 7,0 7,1 Камерон И. Ядерные реакторы. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — С. 320.
- ↑ Пособие по физике реактора ВВЭР-1000. — БАЭС, ЦПП, 2003.
- ↑ Wang M., Audi G., Kondev F. G., Huang W. J., Naimi S., Xu X. The Ame2016 atomic mass evaluation (I). Evaluation of input data; and adjustment procedures (англ.) // Chinese Physics C. — 2016. — Vol. 41, iss. 3. — P. 030002-1—030002-344. — doi:10.1088/1674-1137/41/3/030002.
- ↑ Wang M., Audi G., Kondev F. G., Huang W. J., Naimi S., Xu X. The Ame2016 atomic mass evaluation (II). Tables, graphs, and references (англ.) // Chinese Physics C. — 2016. — Vol. 41, iss. 3. — P. 030003-1—030003-442. — doi:10.1088/1674-1137/41/3/030003.
- ↑ Frederick Soddy, F.R.S. The story of atomic energy. — London: Nova Atlantis, 1949.
- ↑ Содди Ф. История атомной энергии. — М.: Атомиздат, 1979. — С. 288.