Последовательность

В математике последовательность — это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Более общие случаи см. в разделе Вариации и обобщения.

В данной статье последовательность подразумевается бесконечной; случаи конечной последовательности оговариваются особо.

Примеры

Примеры числовой последовательности:

• Примером конечной последовательности может служить последовательность домов на улице.
• Многочлен от одной переменной [math]\displaystyle{ a_0+a_1x + \dots +a_n x^n }[/math] можно рассматривать как конечную последовательность его коэффициентов, или бесконечную — в предположении [math]\displaystyle{ a_i = 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ i \gt n }[/math].
• Последовательность простых чисел является одной из наиболее известных нетривиальных бесконечных числовых последовательностей.
• Каждому действительному числу может быть сопоставлена собственная последовательность, называемая цепной дробью — причём для рациональных чисел она всегда конечна, для алгебраических иррациональных чисел бесконечна (для квадратичных иррациональностей — периодична), а для трансцендентных чисел бесконечна и не периодична, хотя отдельные числа и могут встречаться в ней бесконечное число раз. Например, цепная дробь для числа [math]\displaystyle{ \frac{13}{9} }[/math] конечна и равна [math]\displaystyle{ [1; 2, 4] }[/math], а цепная дробь числа [math]\displaystyle{ \pi }[/math] уже бесконечна, не периодична и выглядит следующим образом: [math]\displaystyle{ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, \dots] }[/math].
• В геометрии часто рассматривается последовательность правильных многоугольников, форма которых зависит только от количества вершин.
• Последовательность может состоять даже из множеств — к примеру, можно составить последовательность, в которой на [math]\displaystyle{ n }[/math]-ой позиции находится множество всех многочленов степени [math]\displaystyle{ n }[/math] с целыми коэффициентами от одной переменной.

Числовая последовательность

Основная статья: Числовая последовательность

Строгое определение

Пусть задано некоторое множество [math]\displaystyle{ X }[/math] элементов произвольной природы.

Всякое отображение [math]\displaystyle{ f\colon\mathbb{N}\to X }[/math] множества натуральных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] в заданное множество [math]\displaystyle{ X }[/math] называется последовательностью (элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math]).

Обозначения

Последовательности вида

[math]\displaystyle{ x_1, x_2, x_3,\dots }[/math]

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

[math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] или [math]\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^{\infty} }[/math].

Иногда используются фигурные скобки:

[math]\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} }[/math].

Конечные последовательности могут записываться в следующем виде:

[math]\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^N }[/math].

Также последовательность может быть записана как

[math]\displaystyle{ (f(n)) }[/math],

если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] была определена ранее, или же её обозначение может быть заменено на саму функцию. Например, при [math]\displaystyle{ f(n)=n^3 }[/math] последовательность можно записать в виде [math]\displaystyle{ (n^3) }[/math].

Связанные определения

• Образ натурального числа [math]\displaystyle{ n }[/math], а именно элемент [math]\displaystyle{ x_n=f(n) }[/math], называется [math]\displaystyle{ n }[/math]-ым членом последовательности, а порядковый номер [math]\displaystyle{ n }[/math] члена последовательности [math]\displaystyle{ x_n }[/math] — его индексом.
• Подмножество [math]\displaystyle{ f\left[\mathbb{N}\right] }[/math] множества [math]\displaystyle{ X }[/math], которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности: пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» члены последовательности, «перемещается» по носителю.
• Подпоследовательностью последовательности [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] называется зависящая от [math]\displaystyle{ k }[/math] последовательность [math]\displaystyle{ (x_{n_k}) }[/math], где [math]\displaystyle{ (n_k) }[/math] — возрастающая последовательность натуральных чисел. Подпоследовательность можно получить из изначальной последовательности, выкинув из неё некоторые члены.

Замечания

• Любое отображение множества [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] в себя также является последовательностью.
• Последовательность элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math] может быть рассмотрена, как упорядоченное подмножество [math]\displaystyle{ X }[/math], изоморфное множеству натуральных чисел.

Способы задания числовых последовательностей

Жёлтая ромашковая головка, показывающая расположение в 21 (синяя) и 13 (аква) спиралей. Такие схемы, включающие последовательности чисел Фибоначчи, встречаются у самых разных растений

Основной источник:

1. Аналитический, где формула определяет последовательность n-го члена, например: [math]\displaystyle{ a_n=\frac{n}{n+1} }[/math]
2. Рекуррентный, Например, числа Фибоначчи, где любой член последовательности выражается через предшествующие: [math]\displaystyle{ a_1 = 0,a_2= 1,a_{n+2}= a_n+a_{n+1} }[/math]
3. Словесный; Например, для любой бесконечной десятичной дроби можно построить последовательность её десятичных приближений по недостатку или избытку, округляя в каждой итерации дробь в меньшую или большую сторону.

Последовательность действий

Блок-схема последовательности шагов (алгоритм Евклида) для вычисления наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел a и b в точках с именами A и B. Алгоритм выполняется последовательным вычитанием в двух циклах: ЕСЛИ тест B ≥ A дает «да» или "истина" (точнее, число b в позиции B больше или равно числу a в позиции A) ТОГДА алгоритм определяет B ← B - A (что означает, что число b - a заменяет старое число b). Точно так же ЕСЛИ A> B, ТОГДА A ← A - B. Процесс завершается, когда (содержимое) B равно 0, что дает НОД в A. (Алгоритм, полученный из Scott 2009: 13; символы и стиль рисования из Tausworthe 1977).

Основная статья: алгоритм

«Алгоритм — это строгая и логичная последовательность действий для решения какой-либо задачи (математической, информационной и т. п.).»

Последовательности в математике

В математике рассматривают различные типы последовательностей:

• числовые последовательности;
• последовательности элементов метрического пространства;
• временны́е ряды как числовой, так и не числовой природы;
• последовательности элементов функционального пространства;
• последовательности состояний систем управления и автоматов.

Практически важные задачи, возникающие при изучении последовательностей:

• Выяснение вопроса, конечна данная последовательность или бесконечна. Например, на 2020 год известно 51 простое число Мерсенна, но не доказано, что больше таких чисел нет.
• Поиск закономерностей среди членов последовательности.
• Поиск аналитической формулы, которая может служить хорошим приближением для [math]\displaystyle{ n }[/math]-го члена последовательности. Например, для [math]\displaystyle{ n }[/math]-го простого числа неплохое приближение даёт формула: [math]\displaystyle{ n \ln(n) }[/math] (существуют и более точные).
• Прогноз будущих состояний, в первую очередь выяснение вопроса, сходится ли данная последовательность к конечному или бесконечному пределу [math]\displaystyle{ ( }[/math]числовому или не числовому, в зависимости от типа множества [math]\displaystyle{ X). }[/math]

Вариации и обобщения

• Члены последовательности не обязательно должны нумероваться натуральными числами — к примеру, последовательность Фибоначчи может быть продолжена на отрицательные целые числа.
• Существуют и так называемые многомерные последовательности, нумеруемые элементами декартова произведения [math]\displaystyle{ \mathbb{N}\times\mathbb{N}\times\dots\times\mathbb{N} }[/math]. К таким относится, например, многомерное расширение последовательности Туэ-Морса. Также многочлен от нескольких переменных [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\dots x_{n-1},x_n }[/math] можно рассматривать как конечную [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерную последовательность, где на позиции [math]\displaystyle{ i_1,i_2,\dots i_{n-1},i_n }[/math] находится коэффициент при произведении [math]\displaystyle{ x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_{n-1}^{i_{n-1}}x_n^{i_n} }[/math].

См. также

• Иерархия
• Направленность (математика)

Литература

• Последовательность // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 242-245. — 352 с.