Плотность заряда
| Плотность заряда (линейная, поверхностная, объемная) | |
|---|---|
| [math]\displaystyle{ \frac{dq}{dl}, \frac{dq}{dS}, \frac{dq}{dV} }[/math] | |
| Размерность | L−1TI, L−2TI, L−3TI |
| Единицы измерения | |
| СИ | Кл/м, Кл/м2, Кл/м3 |
| Примечания | |
| скалярная величина | |
Пло́тность заря́да — количество электрического заряда, приходящееся на единицу длины, площади или объёма. Таким образом определяются линейная, поверхностная и объёмная плотности заряда, которые в системе СИ измеряются в кулонах на метр (Кл/м), в кулонах на квадратный метр (Кл/м²) и в кулонах на кубический метр (Кл/м³), соответственно. В отличие от плотности вещества, плотность заряда может принимать не только положительные, но и отрицательные значения, поскольку существуют заряды обоих знаков.
Плотность заряда в классической физике
Линейная, поверхностная и объёмная плотности электрического заряда обычно задаются функциями [math]\displaystyle{ \lambda (\vec r) }[/math], [math]\displaystyle{ \sigma (\vec r) }[/math] и [math]\displaystyle{ \rho (\vec r) }[/math], соответственно, где [math]\displaystyle{ \vec r }[/math] — радиус-вектор. Зная эти функции, можно определить полный заряд:
- [math]\displaystyle{ Q = \int\limits_L \lambda (\vec r) \operatorname{d} r }[/math],
- [math]\displaystyle{ Q = \int\limits_S \sigma (\vec r) \operatorname{d} S }[/math],
- [math]\displaystyle{ Q = \int\limits_V \rho (\vec r) \operatorname{d} V }[/math].
Плотность заряда в квантовой механике
В квантовой механике плотность заряда, например электрона в атоме, связана с волновой функцией [math]\displaystyle{ \psi(\vec r) }[/math] через соотношение
- [math]\displaystyle{ \rho(\vec{r}) = q |\psi (\vec{r})|^2 }[/math],
где [math]\displaystyle{ q }[/math] — заряд электрона. При этом волновая функция должна иметь нормировку:
- [math]\displaystyle{ \int |\psi (\vec r)|^2 \operatorname{d}V = 1 }[/math].
Определение плотности заряда через δ-функцию
Иногда требуется записать объёмную плотность заряда для системы из точечных зарядов [math]\displaystyle{ q_a }[/math] ([math]\displaystyle{ a =1,2,\ldots }[/math]). Это может быть сделано с использованием δ-функции:
- [math]\displaystyle{ \rho(\vec{r}) = \sum_aq_a\delta(\vec{r}-\vec{r}_a) }[/math],
где сумма берётся по всем имеющимся зарядам, а [math]\displaystyle{ \vec{r}_a }[/math] — радиус-вектор заряда [math]\displaystyle{ q_a }[/math].[1] Полный заряд, находящийся во всём пространстве, равен интегралу [math]\displaystyle{ \int\rho dV }[/math] по всему пространству. Можно написать этот интеграл в четырёхмерном виде:
- [math]\displaystyle{ Q=\int\rho dV = \frac{1}{c} \int j^{0}dV = \frac{1}{c} \int j^{i}ds_{i} }[/math],
где интегрирование производится по всей четырёхмерной гиперплоскости, перпендикулярной к оси x0 (очевидно, что это и означает интегрирование по всему трёхмерному пространству). [math]\displaystyle{ j^{i} }[/math] — 4-вектор плотности тока.
Плотность заряда в формулах электродинамики
Объёмная плотность заряда в явном виде фигурирует в одном из уравнений Максвелла: ([math]\displaystyle{ \operatorname{div}\vec{D} = \rho }[/math]). Кроме того, она входит в уравнение непрерывности [math]\displaystyle{ \operatorname{div}\vec{j} + \partial \rho / \partial t = 0 }[/math].
Поверхностная плотность заряда входит в граничные условия для нормальных компонент электрической индукции на стыке двух сред: [math]\displaystyle{ D_{2n}- D_{1n} = \sigma }[/math].
Плотность заряда в любом варианте (объёмная, поверхностная, линейная) может использоваться при вычислении напряжённости электрического поля или потенциала путём интегрирования закона Кулона
- [math]\displaystyle{ \vec E (\vec r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{(\vec r - \vec \hat r)\,dQ(\vec \hat r)}{|\vec r - \vec \hat r|^3},\qquad \varphi(\vec r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{dQ(\vec \hat r)}{|\vec r - \vec \hat r|} }[/math],
где элемент заряда [math]\displaystyle{ dQ }[/math] записывается как [math]\displaystyle{ \rho dV }[/math], [math]\displaystyle{ \sigma dS }[/math] или [math]\displaystyle{ \lambda dl }[/math] в зависимости от конкретной задачи.
См. также
Примечания
- ↑ Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория Поля, Том 2 из 10.. — 8 издание. — ФИЗМАТЛИТ, 2003. — С. 104. — 531 с. — ISBN 5-9221-0056-4.
Литература
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Физматлит; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. III. Электричество. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3; ISBN 5-89155-086-5..
- САВЕЛЬЕВ И. В. Основы теоретической физики: Учеб. руководство: Для вузов. В 2 т. Т. 1. Механика и электродинамика.— 2-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.— 496 с. ISBN 5-02-014455-X (Т. 1)