Параллельный перенос

Паралле́льный перено́с иногда трансляция (от лат. translatio — перенос,перемещение) ― частный случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Определение

Параллельный перенос ― перемещение всех точек пространства в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Если [math]\displaystyle{ M }[/math] ― первоначальное положение, а [math]\displaystyle{ M' }[/math] ― смещённое в результате переноса положение точки, то вектор [math]\displaystyle{ \overrightarrow{MM'} }[/math] ― один и тот же для всех пар точек, соответствующих друг другу в данном преобразовании.

Параллельный перенос на вектор [math]\displaystyle{ \vec a }[/math] обозначается как [math]\displaystyle{ T_{\vec a} }[/math] (от лат. translatio - перенос,перемещение)

Параллельный перенос перемещает каждую точку фигуры или пространства на одно и то же расстояние в одном и том же направлении.

Координатное представление

На плоскости параллельный перенос выражается аналитически в прямоугольной системе координат [math]\displaystyle{ (x,\;y) }[/math] при помощи

[math]\displaystyle{ (x,\;y)\mapsto(x+a,\;y+b), }[/math]

где вектор [math]\displaystyle{ \overrightarrow{MM'}=(a,\;b) }[/math].

Свойства

• Две различные точки и их образы, полученные параллельным переносом, являются вершинами параллелограмма, в котором отрезок, соединяющий две начальные точки, образует одну сторону, а отрезок, соединяющий два их образа — противоположную ей сторону.
• У параллельного переноса нет неподвижных точек (если только это не тождественное преобразование, либо если прямая или плоскость не параллельны вектору параллельного переноса (т.к. именно он определяет направление переноса)).
• Совокупность всех параллельных переносов образует группу, которая в евклидовом пространстве является нормальной подгруппой группы движений, а в аффинном ― нормальной подгруппой группы аффинных преобразований.
• Параллельный перенос сохраняет направления ( т.е. для любого вектора [math]\displaystyle{ \vec{a} }[/math] верно, что [math]\displaystyle{ f({\vec{a}}) = \vec{a} }[/math])
• Преобразование, обратное к параллельному переносу [math]\displaystyle{ T_{\vec a} }[/math] есть [math]\displaystyle{ T_{-\vec a} }[/math]
• Композиция параллельных переносов [math]\displaystyle{ T_{\vec a} }[/math] и [math]\displaystyle{ T_{\vec b} }[/math] есть [math]\displaystyle{ T_{\vec a + \vec b} }[/math]
• Параллельный перенос переводит прямую в себя или в параллельную ей прямую, а плоскость - в себя или в параллельную ей плоскость.
• Параллельный перенос [math]\displaystyle{ T_{\vec 0} }[/math] - это тождественное преобразование.

Вариации и обобщения

• Параллельное перенесение — обобщение понятия «параллельный перенос» на случай искривлённых пространств.
• Поступательное движение — движение в механике, разница положений при котором в любые 2 момента времени представляет собой параллельный перенос.
• Трансляция (кристаллография)
• Трансляционная симметрия