Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος «параллельный» + γραμμή «линия») — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. (См. другие определения )

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°

Противолежащие стороны параллелограмма равны.
Противолежащие углы параллелограмма равны.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
[math]\displaystyle{ \left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right| }[/math].
Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть

[math]\displaystyle{ a }[/math] — длина стороны [math]\displaystyle{ AB }[/math],

[math]\displaystyle{ b }[/math] — длина стороны [math]\displaystyle{ BC }[/math],

[math]\displaystyle{ d_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ d_2 }[/math] — длины диагоналей; тогда

[math]\displaystyle{ d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2). }[/math]

Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: [math]\displaystyle{ AB = CD, AB \parallel CD }[/math].
Все противоположные углы попарно равны: [math]\displaystyle{ \angle A = \angle C, \angle B = \angle D }[/math].
У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: [math]\displaystyle{ AB = CD, BC=DA }[/math].
Все противоположные стороны попарно параллельны: [math]\displaystyle{ AB \parallel CD, BC \parallel DA }[/math].
Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: [math]\displaystyle{ AO = OC, BO = OD }[/math].
Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: [math]\displaystyle{ AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2 }[/math].

Площадь параллелограмма

Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

[math]\displaystyle{ S = ah }[/math] , где [math]\displaystyle{ a }[/math] — сторона, [math]\displaystyle{ h }[/math] — высота, проведённая к этой стороне.

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон и синуса угла между ними:

[math]\displaystyle{ S = ab\sin \alpha, }[/math]

где [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — стороны, а [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — угол между сторонами [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math].

Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны [math]\displaystyle{ a,\ b }[/math] и длину любой из диагоналей [math]\displaystyle{ d }[/math] по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:

[math]\displaystyle{ S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)} }[/math]

где [math]\displaystyle{ p=(a+b+d)/2. }[/math]

См. также

Примечания