Парабола

Парабола
Парабола как коническое сечение
Парабола, её фокус и директриса
Эксцентриситет	[math]\displaystyle{ e = 1 }[/math]
Уравнения
[math]\displaystyle{ \begin{align} &y = x^2 \\ &y = ax^2 + bx + c\\ &Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey = F \\ &\quad (B^2 - 4AC = 0) \end{align} }[/math]
Другие конические сечения
Гипербола Парабола Эллипс Окружность

Пара́бола (греч. παραβολή — приближение) — плоская кривая, один из типов конических сечений.

Определение

Античные математики определяли параболу как результат пересечения кругового конуса с плоскостью, которая не проходит через вершину конуса и параллельна его образующей (см. рисунок). В аналитической геометрии удобнее эквивалентное определение: парабола есть геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы) (см. рисунок).

Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в ломаную.

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Парабола в семействе конических сечений

Вершина

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

Уравнения

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

[math]\displaystyle{ \textstyle y^2=2px, p\gt 0 }[/math] (или [math]\displaystyle{ \textstyle x^2=2py }[/math], если поменять местами оси координат).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии [math]\displaystyle{ \frac{p}{2} }[/math] от обоих.

Вывод

Уравнение директрисы PQ: [math]\displaystyle{ \textstyle x+\frac{p}{2}=0 }[/math], фокус F имеет координаты [math]\displaystyle{ \left (\frac{p}{2};0\right ). }[/math] Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы, для любой точки M, лежащей на ней, выполняется равенство KM = FM. Далее, поскольку [math]\displaystyle{ \textrm{KM=KD+DM}=\frac{p}{2}+x }[/math] и [math]\displaystyle{ \textrm{FM}=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2} }[/math], то равенство приобретает вид: [math]\displaystyle{ \sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}=\frac{p}{2}+x. }[/math] После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение [math]\displaystyle{ y^2=2px. }[/math]

Парабола, заданная квадратичной функцией

Квадратичная функция [math]\displaystyle{ y=ax^2+bx+c }[/math] при [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math] также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и [math]\displaystyle{ y=ax^2, }[/math] но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

[math]\displaystyle{ x_\textrm{A}=-\frac{b}{2a},\;y_\textrm{A}=-\frac{D}{4a}, }[/math] где [math]\displaystyle{ D=b^2-4ac }[/math] — дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение [math]\displaystyle{ y=ax^2+bx+c }[/math] может быть представлено в виде [math]\displaystyle{ y=a(x-x_\textrm{A})^2+y_\textrm{A}, }[/math] а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом [math]\displaystyle{ p=\frac{1}{|2a|}. }[/math]

Общее уравнение параболы

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

[math]\displaystyle{ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. }[/math]

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант [math]\displaystyle{ B^2-4AC }[/math] равен нулю.

Уравнение в полярной системе

Парабола в полярной системе координат [math]\displaystyle{ (\rho,\vartheta) }[/math] с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

[math]\displaystyle{ \rho (1 + \cos \vartheta) = p, }[/math]

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

Расчёт коэффициентов квадратичной функции

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, [math]\displaystyle{ y = ax^2 + bx + c }[/math] известны координаты трёх различных точек параболы [math]\displaystyle{ (x_{1}; y_{1}), \;(x_{2}; y_{2}), \;(x_{3}; y_{3}), }[/math] то его коэффициенты могут быть найдены так:

[math]\displaystyle{ a=\frac{y_{3}-\tfrac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, \ \ b=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), \ \ c=\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}. }[/math]

Если же заданы вершина [math]\displaystyle{ (x_0;y_0) }[/math] и старший коэффициент [math]\displaystyle{ a }[/math], то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

[math]\displaystyle{ b=-2ax_0 }[/math]

[math]\displaystyle{ c=ax_0^2+y_0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x_1=x_0+\sqrt{-\frac{y_0}{a}} }[/math]

[math]\displaystyle{ x_2=x_0-\sqrt{-\frac{y_0}{a}} }[/math]

Свойства

Отражательное свойство параболы (оптика)

Расстояние от P_n до фокуса F такое же, как и от P_n до Q_n (на директрисе L)

Длина линий FP_nQ_n одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы — в бесконечности (см. также Шары Данделена)

• Парабола — кривая второго порядка.
• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
• Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.
• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
• Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
• Парабола является антиподерой прямой.
• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
• Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть Цепная линия.
• Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе

Связанные определения

• При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Вариации и обобщения

Графики степенной функции [math]\displaystyle{ y=x^n }[/math] при натуральном показателе [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math] называются параболами порядка [math]\displaystyle{ n }[/math]. Ранее рассмотренное определение соответствует [math]\displaystyle{ n=2, }[/math] то есть параболе 2-го порядка.

Парабола также представляет собой синусоидальную спираль при [math]\displaystyle{ \textstyle n = -\frac{1}{2} }[/math];

Параболы в физическом пространстве

Параболический компас Леонардо да Винчи

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассегрена, Шмидта — Кассегрена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

• 

  Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)

• 

  Падение баскетбольного мяча

• 

  Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США

• 

  Параболические траектории струй воды

• 

  Вращающийся сосуд с жидкостью

• 

  Парабола — антиподера прямой

Литература

• Акопян А. А., Заславский А. В. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
• Бронштейн И. Парабола // Квант. — 1975. — № 4. — С. 9—16.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Гостехиздат, 1952. — 32 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 4).
• Парабола // Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 191—192. — 1216 с.

Ссылки

• Статья в справочнике «Прикладная математика».
• Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
• Информация (англ.) о связи параболы с физикой.
• Учебный фильм о параболе