Отрицательное биномиальное распределение

Отрицательное биномиальное распределение
Функция вероятности
Обозначение	[math]\displaystyle{ \mathrm{NB}(r,p) }[/math]
Параметры	[math]\displaystyle{ r \gt 0 }[/math] [math]\displaystyle{ p \in (0;1) }[/math] [math]\displaystyle{ q\equiv 1-p }[/math]
Носитель	[math]\displaystyle{ k \in \{0,1,2,\ldots\} }[/math]
Функция вероятности	[math]\displaystyle{ \frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,q^k }[/math]
Функция распределения	[math]\displaystyle{ I_p(r,k+1) }[/math]
Математическое ожидание	[math]\displaystyle{ \frac{rq}{p} }[/math]
Мода	[math]\displaystyle{ \left\lfloor\frac{(r-1)q}{p}\right\rfloor }[/math] если [math]\displaystyle{ \ r\gt 1 \ }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] если [math]\displaystyle{ r\leq1 }[/math]
Дисперсия	[math]\displaystyle{ \frac{rq}{p^2} }[/math]
Коэффициент асимметрии	[math]\displaystyle{ \frac{2-p}{\sqrt{r\,q}} }[/math]
Коэффициент эксцесса	[math]\displaystyle{ \frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,q} }[/math]
Производящая функция моментов	[math]\displaystyle{ \left(\frac{p}{1-q e^t}\right)^r }[/math]
Характеристическая функция	[math]\displaystyle{ \left(\frac{p}{1-q e^{i\,t}}\right)^r }[/math]

Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние, также называемое распределением Паскаля — это распределение дискретной случайной величины, равной числу произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха [math]\displaystyle{ p }[/math], проводимых до [math]\displaystyle{ r }[/math]-го успеха.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ \{X_i\}_{i=1}^{\infty} }[/math] — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

[math]\displaystyle{ X_i = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & q \equiv 1-p \end{matrix} \right.,\; i\in \N. }[/math]

Построим случайную величину [math]\displaystyle{ Y }[/math] следующим образом. Пусть [math]\displaystyle{ k+r }[/math] — номер [math]\displaystyle{ r }[/math]-го успеха в этой последовательности. Тогда [math]\displaystyle{ Y = k }[/math]. Более строго, положим [math]\displaystyle{ S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ Y = \inf\{n \mid S_n = r\} - r }[/math].

Распределение случайной величины [math]\displaystyle{ Y }[/math], определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: [math]\displaystyle{ Y \sim \mathrm{NB}(r,p) }[/math].

Функции вероятности и распределения

Функция вероятности случайной величины [math]\displaystyle{ Y }[/math] имеет вид:

[math]\displaystyle{ \mathbb{P}(Y = k) = \binom{k+r-1}{k}\, p^r q^k,\; k=0,1,2,\ldots }[/math].

Функция распределения [math]\displaystyle{ Y }[/math] кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

[math]\displaystyle{ F_Y(k) = I_p( r, k+1 ) }[/math].

Моменты

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

[math]\displaystyle{ M_Y(t) = \left(\frac{p}{1 - q e^t}\right)^r }[/math],

откуда

[math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Y] = \frac{rq}{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{D}[Y] = \frac{rq}{p^2} }[/math]

Свойства

Пусть [math]\displaystyle{ Y_i \sim NB(r_i,p) }[/math], тогда [math]\displaystyle{ \sum_i Y_i \sim NB\left(\sum_i r_i,p\right) }[/math]

Частные случаи отрицательного биномиального распределения

• При r→∞ отрицательное биномиальное распределение становится распределением Пуассона
• Если параметр r - целое число, то отрицательное биномиальное распределение становится обобщенным распределением Бозе-Эйнштейна .
• При r=1 отрицательное биномиальное распределение становится геометрическим распределением
• При r=1 получающееся геометрическое распределение является распределением Бозе-Эйнштейна для одного источника (a single source) .