Особая точка кривой

Особая точка кривой — точка, в окрестности которой не существует гладкой параметризации. Точное определение зависит от типа изучаемой кривой.

Алгебраические кривые на плоскости

Алгебраическую кривую на плоскости можно определить как множество точек [math]\displaystyle{ \left(x,y\right) }[/math], удовлетворяющих уравнению вида [math]\displaystyle{ f\left(x,y\right)=0 }[/math], где [math]\displaystyle{ f\left(x,y\right) }[/math] — полиномиальная функция [math]\displaystyle{ f\colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} }[/math]:

[math]\displaystyle{ f=a+b_1x+b_2y+c_1x^2+2c_2xy+c_3y^2+\dots }[/math].

Если начало координат [math]\displaystyle{ \left(0,0\right) }[/math] принадлежит кривой, то [math]\displaystyle{ a=0 }[/math]. Если [math]\displaystyle{ b_2\not=0 }[/math], то теорема о неявной функции гарантирует существование гладкой функции [math]\displaystyle{ g }[/math], такой что кривая принимает вид [math]\displaystyle{ y=g\left(x\right) }[/math] в окрестности начала координат. Аналогично, если [math]\displaystyle{ b_1\not=0 }[/math], то существует такая функция [math]\displaystyle{ h }[/math], что кривая удовлетворяет уравнению [math]\displaystyle{ x=h\left(y\right) }[/math] в окрестности начала координат. В обоих случаях существует гладкое отображение [math]\displaystyle{ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} }[/math], которое определяет кривую в окрестности начала координат. Заметим, что в окрестности начала координат

[math]\displaystyle{ b_1={\partial f\over\partial x},\,b_2={\partial f\over\partial y}. }[/math]

Особые точки кривой — это те точки кривой, в которых обе производные обращаются в ноль:

[math]\displaystyle{ f(x,y)={\partial f\over\partial x}={\partial f\over\partial y}=0. }[/math]

Регулярные точки

Пусть кривая проходит через начало координат. Положив [math]\displaystyle{ y=mx }[/math], можно представить [math]\displaystyle{ f }[/math] в виде

[math]\displaystyle{ f=(b_1+b_2m)x+(c_1+2c_2m+c_3m^2)x^2+\dots }[/math].

Если [math]\displaystyle{ b_1+b_2m\not=0 }[/math], то уравнение [math]\displaystyle{ f=0 }[/math] имеет решение кратности 1 в точке [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] и начало координат является точкой одиночного контакта кривой с прямой [math]\displaystyle{ y=mx }[/math]. Если [math]\displaystyle{ b_1+b_2m=0 }[/math], то [math]\displaystyle{ f=0 }[/math] имеет в точке [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] решение кратности 2 или выше и прямая [math]\displaystyle{ y=mx }[/math] является касательной к кривой. В этом случае, если [math]\displaystyle{ c_1+2c_2m+c_3m^2\not=0 }[/math], кривая имеет двойной контакт с прямой [math]\displaystyle{ y=mx }[/math]. Если [math]\displaystyle{ c_1+2c_2m+c_3m^2=0 }[/math], а коэффициент при [math]\displaystyle{ x^3 }[/math] не равен нулю, то начало координат является точкой перегиба кривой. Это рассуждение может быть применено к любой точке кривой путём переноса начала координат в заданную точку.

Двойные точки

Три улитки Паскаля иллюстрируют типы двойных точек. Левая кривая имеет изолированную точку в начале координат. Центральная кривая, кардиоида, имеет касп в начале координат. Правая кривая имеет в начале координат точку самопересечения, образуя петлю.

Если в вышеприведённом уравнении [math]\displaystyle{ b_1=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ b_2=0 }[/math], но по крайней мере одна из величин [math]\displaystyle{ c_1 }[/math], [math]\displaystyle{ c_2 }[/math] или [math]\displaystyle{ c_3 }[/math] не равна нулю, то начало координат называется двойной точкой кривой. Снова положим [math]\displaystyle{ y=mx }[/math], тогда [math]\displaystyle{ f }[/math] примет вид

[math]\displaystyle{ f=(c_1+2c_2m+c_3m^2)x^2+(d_1+3d_2m+3d_3m^2+d_4m^3)x^3+\dots. }[/math]

Двойные точки можно классифицировать по корням уравнения [math]\displaystyle{ c_1+2c_2m+c_3m^2=0 }[/math].

Точки самопересечения

Если уравнение [math]\displaystyle{ c_1+2c_2m+c_3m^2=0 }[/math] имеет два вещественных решения по [math]\displaystyle{ m }[/math], то есть, если [math]\displaystyle{ c_2^2-c_1c_3\gt 0 }[/math], то начало координат называется точкой самопересечения. Кривая в этом случае имеет две различные касательные, соответствующие двум решениям уравнения [math]\displaystyle{ c_1+2c_2m+c_3m^2=0 }[/math]. Функция [math]\displaystyle{ f }[/math] в этом случае имеет седловую точку в начале координат.

Изолированные точки

Если уравнение [math]\displaystyle{ c_1+2c_2m+c_3m^2=0 }[/math] не имеет вещественных решений по [math]\displaystyle{ m }[/math], то есть, если [math]\displaystyle{ c_2^2-c_1c_3\lt 0 }[/math], то начало координат называется изолированной точкой. На вещественной плоскости начало координат окажется изолировано от кривой, однако на комплексной плоскости начало координат изолировано не будет и будет иметь две мнимых касательных, соответствующих двум мнимым решениям уравнения [math]\displaystyle{ c_1+2c_2m+c_3m^2=0 }[/math]. Функция [math]\displaystyle{ f }[/math] в этом случае имеет локальный экстремум в начале координат.

Каспы

Если уравнение [math]\displaystyle{ c_1+2c_2m+c_3m^2=0 }[/math] имеет одно вещественное решение по [math]\displaystyle{ m }[/math] кратности 2, то есть, если [math]\displaystyle{ c_2^2-c_1c_3=0 }[/math], то начало координат называется каспом, или точкой возврата. Кривая в этом случае в особой точке меняет направление, образуя остриё. Кривая в начале координат имеет единственную касательную, что можно трактовать как две совпадающие касательные.

Дальнейшая классификация

Термин узел (англ. node) используется как общее название для изолированных точек и точек самопересечения. Число узлов и число каспов кривой являются двумя инвариантами, используемыми в формулах Плюккера.

Если одно из решений уравнения [math]\displaystyle{ c_1+2c_2m+c_3m^2=0 }[/math] является также решением уравнения [math]\displaystyle{ d_1+3d_2m+3d_3m^2+d_4m^3=0 }[/math], то соответствующая ветвь кривой имеет перегиб в начале координат. В этом случае начало координат называется точкой самокасания. Если обе ветви имеют это свойство, то [math]\displaystyle{ c_1+2c_2m+c_3m^2 }[/math] является делителем [math]\displaystyle{ d_1+3d_2m+3d_3m^2+d_4m^3 }[/math], и начало координат называется биффлектоидальной точкой (точкой двойного соприкосновения).

Многократные точки

Кривая с тройной точкой в начале координат.

В общем случае при равенстве нулю всех членов со степенью, меньшей [math]\displaystyle{ k }[/math], и при условии, что хотя бы один член со степенью [math]\displaystyle{ k }[/math] не равен нулю, говорят, что кривая имеет многократную точку порядка k. В этом случае кривая имеет [math]\displaystyle{ k }[/math] касательных в начале координат, но некоторые из них могут быть мнимыми или совпадать.

Параметрические кривые

Параметрическая кривая в R² определяется как образ функции g: R → R², g(t) = (g₁(t), g₂(t)). Особые точки такой кривой — это точки, в которых

[math]\displaystyle{ {dg_1\over dt}={dg_2\over dt}=0. }[/math]

Касп

Многие кривые можно задать в обоих видах, но эти два задания не всегда согласуются. Например, касп можно найти как у алгебраической кривой x³−y² = 0, так и параметрической кривой g(t) = (t², t³). Оба задания кривой дают особую точку в начале координат. Однако точка самопересечения кривой y²−x³−x² = 0 в начале координат является особой для алгебраической кривой, но при параметрическом задании g(t) = (t²−1,t(t²−1)) пара производных g′(t) никогда не обращается в ноль, а потому точка не является особой в вышеуказанном смысле.

Следует соблюдать осторожность при выборе параметризации. Например, прямую y = 0 можно задать параметрически как g(t) = (t³, 0) и она будет иметь особую точку в начале координат. Если же её же параметризовать как g(t) = (t, 0), она не будет иметь особых точек. Таким образом, технически более корректно говорить об особых точках гладкого отображения, а не об особых точках кривой.

Вышеуказанные определения можно распространить на неявные кривые, которые можно определить как множество нулей f⁻¹(0) произвольной гладкой функции. Определения также можно распространить на кривые в пространствах более высоких размерностей.

Согласно теореме Хасслера Уитни, любое замкнутое множество в Rⁿ является множеством решений f⁻¹(0) для некоторой гладкой функции f: Rⁿ → R. Следовательно, любая параметрическая кривая может быть задана как неявная кривая.

Типы особых точек

Примеры особых точек различных типов:

• Изолированная точка: x²+y² = 0,
• Пересечение двух прямых: x²−y² = 0,
• Касп (точка возврата): x³−y² = 0,
• Клювообразный касп: x⁵−y² = 0.

См. также

• Теория особенностей
• Теория Морса

Литература

• Harold Hilton. Plane Algebraic Curves. — Oxford, 1920.