Оператор (математика)

Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — математическое отображение между множествами, в котором каждое из них наделено какой-либо дополнительной структурой (порядком, топологией, алгебраическими операциями). Понятие оператора используется в различных разделах математики для отличия от другого рода отображений (главным образом, числовых функций); точное значение зависит от контекста, например в функциональном анализе под операторами понимают отображения, ставящие в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» вместо «функции от функции»).

Некоторые виды операторов:

• операторы на пространствах функций (дифференцирование, интегрирование, свёртка с ядром, преобразование Фурье) в функциональном анализе;
• отображения (в особенности линейные) между векторными пространствами (проекторы, повороты координат, гомотетии, умножения вектора на матрицу) в линейной алгебре;
• преобразование последовательностей (свёртки дискретных сигналов, медианный фильтр) в дискретной математике.

Основная терминология

Про оператор [math]\displaystyle{ A: X \to Y }[/math] говорят, что он действует из множества [math]\displaystyle{ X }[/math] во множество [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Оператор может быть не всюду определён на [math]\displaystyle{ X }[/math]; тогда говорят о его области определения [math]\displaystyle{ D_A=D(A)\subset X }[/math]. Для [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] результат применения оператора [math]\displaystyle{ A }[/math] к [math]\displaystyle{ x }[/math] обозначают [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] или [math]\displaystyle{ Ax }[/math].

Если [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] — векторные пространства, то в множестве всех операторов из [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math] можно выделить класс линейных операторов.

Если [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] — векторные топологические пространства, то в множестве операторов из [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math] естественно выделяется класс непрерывных операторов, а также класс линейных ограниченных операторов и класс линейных компактных операторов (называемые также вполне непрерывными).

Простые примеры

Оператор, действующий над пространствами функций — это правило, согласно которому одна функция преобразуется в другую. Преобразование функции [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] согласно правилу [math]\displaystyle{ A }[/math] в другую функцию [math]\displaystyle{ y(t) }[/math] имеет вид [math]\displaystyle{ y(t)=A\{x(t)\} }[/math] или, проще, [math]\displaystyle{ y=Ax }[/math].

Примеры подобных преобразований — умножение на число: [math]\displaystyle{ y(t)=cx(t) }[/math] и дифференцирование: [math]\displaystyle{ \scriptstyle y(t)=\frac{dx(t)}{dt} }[/math]. Соответствующие операторы называются операторами умножения на число, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциального уравнения и т. д.

Операторы, изменяющие аргумент функции, называются операторами преобразования или преобразованиями. Преобразование подменяет координатные оси, отображает функцию в другое пространство. Например преобразование Фурье из временной в частотную область:

[math]\displaystyle{ F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-it\omega}\,dt=\mathcal{F}\{f(t)\}. }[/math]

Отличие оператора от простой суперпозиции функций в данном случае заключается в том, что значение функции [math]\displaystyle{ y }[/math], вообще говоря, в каждой точке [math]\displaystyle{ t }[/math] зависит не только от [math]\displaystyle{ x(t) }[/math], а от значений функции [math]\displaystyle{ x }[/math] во всех точках [math]\displaystyle{ t }[/math]. Поясним на примере преобразования Фурье. Значение этого преобразования (спектр функции) в точке [math]\displaystyle{ \omega }[/math] меняется при непрерывном изменении исходной функции в окрестности любой точки [math]\displaystyle{ t }[/math].

Изучением общих свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов. Например, оказывается, что у оператора умножения вектора на матрицу и оператора свёртки функции с весом есть много общих свойств.

Фундаментальным для практики является класс так называемых линейных операторов. Он также является наиболее исследованным. В качестве примера линейного оператора можно привести операцию умножения [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного вектора на матрицу размером [math]\displaystyle{ n\times m }[/math]. Этот оператор отображает [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное пространство векторов в [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерное.

Линейные операторы

Основная статья: Линейное отображение

Оператор [math]\displaystyle{ L }[/math] (действующий из векторного пространства в векторное же) называется линейным однородным (или просто линейным), если он обладает следующими свойствами:

1. может применяться почленно к сумме аргументов:

   [math]\displaystyle{ L(x_1+x_2)=L(x_1)+L(x_2) }[/math];

2. скаляр (постоянную величину) [math]\displaystyle{ c }[/math] можно выносить за знак оператора:

   [math]\displaystyle{ L(cx)=cL(x) }[/math];

Из второго свойства следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство [math]\displaystyle{ L(0)=0 }[/math].

Оператор [math]\displaystyle{ L }[/math] называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторого фиксированного элемента:

[math]\displaystyle{ L\{x\}=L_0\{x\}+\varphi }[/math],

где [math]\displaystyle{ L_0 }[/math] — линейный однородный оператор.

В случае линейного преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) новые значения функций [math]\displaystyle{ y_k }[/math] являются линейными функциями от старых значений [math]\displaystyle{ x_k }[/math]:

[math]\displaystyle{ y_k=\sum_{l=1}^n T_{kl}\,x_l }[/math].

В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов принимает вид функции двух переменных [math]\displaystyle{ K(t,\;\omega) }[/math], и называется ядром линейного интегрального преобразования:

[math]\displaystyle{ \varphi(t)=\int\limits_V\!K(t,\omega)f(\omega)\,d\omega=K\{f(\omega)\}. }[/math]

Функция-операнд [math]\displaystyle{ f(\omega) }[/math] в данном случае называется спектральной функцией. Спектр может быть и дискретным, тогда [math]\displaystyle{ f(\omega) }[/math] заменяется вектором [math]\displaystyle{ W }[/math]. В этом случае [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math] представимо конечным или бесконечным рядом функций:

[math]\displaystyle{ \varphi(t)=\sum_{i=1}^n T_i(t)w_i. }[/math]

Нулевой оператор

Оператор [math]\displaystyle{ O }[/math], ставящий в соответствие каждому вектору [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math] нулевой вектор [math]\displaystyle{ \mathbf{0} }[/math], очевидно, линейный; он называется нулевым оператором.

Единичный (тождественный) оператор

Оператор [math]\displaystyle{ E }[/math], ставящий в соответствие каждому вектору [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math] сам вектор [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math], очевидно, линейный; он называется единичным или тождественным оператором.

Частный случай линейного оператора, возвращающий операнд в неизменном виде:

[math]\displaystyle{ E\mathbf{a}=\mathbf{a}, }[/math]

то есть как матричный оператор определяется равенством

[math]\displaystyle{ \sum_k E_{ik}\,a_k=a_i }[/math]

и как интегральный оператор — равенством

[math]\displaystyle{ \int\limits_\alpha^\beta\!E(x,t)a(t)\,dt=a(x) }[/math].

Единичная матрица [math]\displaystyle{ E_{ik} }[/math] записывается большей частью с помощью символа [math]\displaystyle{ \delta_{ik}=\delta_{ki} }[/math] (символ Кронекера). Имеем: [math]\displaystyle{ \delta_{ik}=1 }[/math] при [math]\displaystyle{ i=k }[/math] и [math]\displaystyle{ \delta_{ik}=0 }[/math] при [math]\displaystyle{ i\neq k }[/math].

Единичное ядро [math]\displaystyle{ E(x,t) }[/math] записывается в виде [math]\displaystyle{ E(x,t)=\delta(t-x) }[/math] (дельта-функция). [math]\displaystyle{ \delta(x-t)=0 }[/math] всюду, кроме [math]\displaystyle{ x=t }[/math], где функция становится бесконечной и притом такой, что

[math]\displaystyle{ \int\limits_\alpha^\beta\!\delta(x-t)\,dt=1 }[/math].

Запись

В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами, число операндов называется арностью оператора (например, одинарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:

• префиксная: где первым идёт оператор и операнды следом, например:

[math]\displaystyle{ Q(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n); }[/math]

• постфиксная: если символ оператора следует за операндами, например:

[math]\displaystyle{ (x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)\;Q; }[/math]

• инфиксная: оператор вставляется между операндами, применяется преимущественно с двоичными операторами:

[math]\displaystyle{ x_1\;Q\;x_2; }[/math]

• позиционная: знак оператора опускается, оператор присутствует неявно. Чаще всего не пишется оператор произведения (переменных, численного значения на физическую единицу, матриц, композиция функций), например, 3 кг. Такая способность одного оператора действовать над разнородными сущностями достигается перегрузкой операторов;
• подстрочная или надстрочная слева или справа; главным образом используется для операций возведения в степень и выбора элемента вектора по индексу.

Как можно заметить, запись оператора часто принимает сокращённую форму от общепринятой записи функций. При использовании префиксной или постфиксной записи скобки опускаются в большинстве случаев, если известна арность оператора. Так, одинарный оператор [math]\displaystyle{ Q }[/math] над функцией [math]\displaystyle{ f }[/math] обычно для краткости записывается [math]\displaystyle{ Qf }[/math] вместо [math]\displaystyle{ Q(f) }[/math]; скобками пользуются для ясности, например, операция над произведением [math]\displaystyle{ Q(fg) }[/math]. [math]\displaystyle{ Q }[/math], действующий на [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], также записывают [math]\displaystyle{ (Qf)(x) }[/math]. Для обозначения некоторых операторов вводятся специальные знаки, например, унарные [math]\displaystyle{ n! }[/math] (факториал «!», справа от операнда), [math]\displaystyle{ -n }[/math] (отрицание, слева) или каллиграфические символы, как в случае с Фурье-преобразованием функции [math]\displaystyle{ \mathcal{F}\{f(t)\} }[/math]. Возведение в степень [math]\displaystyle{ n^x }[/math] можно считать бинарным оператором двух аргументов либо степенной или показательной функцией одного аргумента.

Символ линейного дифференциального оператора

Символ линейного дифференциального оператора сопоставляет дифференциальному оператору многочлен, грубо говоря, заменяя композицию частных производных на произведение ассоциированных с ними переменных. Старшие мономы символа оператора (главный символ оператора) отражают качественное поведение решения уравнения в частных производных, соответствующего этому оператору. Линейные эллиптические уравнения в частных производных характеризуются тем, что их главный символ нигде не обращается в 0.

Пусть [math]\displaystyle{ x=(x_1,\ldots, x_n) }[/math] и имеются мультииндексы [math]\displaystyle{ \alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_n) }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta=(\beta_1,\ldots, \beta_n) }[/math]. Тогда положим

[math]\displaystyle{ \begin{align}D^\alpha x^\beta&= \frac{\partial^{\vert\alpha\vert}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}} x_1^{\beta_1} \cdots x_n^{\beta_n}\\ &= \frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}} x_1^{\beta_1} \cdots \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} x_n^{\beta_n}.\end{align} }[/math]

Пусть [math]\displaystyle{ P }[/math] — линейный дифференциальный оператор порядка [math]\displaystyle{ k }[/math] на евклидовом пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb R^d }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ P }[/math] является полиномом от производной [math]\displaystyle{ D }[/math], в мультииндексной записи это будет записываться так

[math]\displaystyle{ P = p(x,D) = \sum_{|\alpha|\le k} a_\alpha(x) D^\alpha. }[/math]

Полином [math]\displaystyle{ p }[/math], по определению, является полным символом [math]\displaystyle{ P }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sigma P(\xi) = p(x,\xi) = \sum_{|\alpha|\le k} a_\alpha\xi^\alpha. }[/math]

Главный символ оператора состоит из мономов максимальной степени [math]\displaystyle{ \sigma_P }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sigma_P (\xi) = \sum_{|\alpha|= k} a_\alpha\xi^\alpha }[/math]

и является частью полного символа оператора, которая преобразуется как тензор при замене координат.

См. также

• Список операторов (математика)
• Потенциальный оператор

Литература

• (1995) Оператор. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия».