Модель пересекающихся поколений

Питер Артур Даймонд

Пол Энтони Самуэльсон

Модель пересекающихся (перекрывающихся) поколений (модель Даймонда, модель Самуэльсона — Даймонда, англ. overlapping generations model) — модель экзогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции. Внесла вклад в понимание того, каким образом решения индивидов формируют норму сбережений в экономике. В модели отражено изменение потребительского поведения индивида по мере взросления. Вместе с тем, в модели отрицаются альтруистические связи между поколениями, и она не даёт удовлетворительного объяснения межстрановым различиям в уровне дохода на душу населения. Разработана Питером Даймондом с использованием идей Пола Самуэльсона в 1965 году.

История создания

В первых моделях экономического роста (модель Солоу, модель Харрода — Домара) использовались экзогенно задаваемые параметры «норма сбережений» и «темп научно-технического прогресса», от которых, в конечном итоге, и зависели темпы роста. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с заданной нормой сбережений имели ряд недостатков. Они не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. В модели Рамсея — Касса — Купманса был преодолён недостаток экзогенности нормы сбережений. Однако она сохранила другой недостаток ранних моделей — в ней рассматривается бесконечно живущий индивид (или домохозяйство) в качестве вечного потребителя. Но по мере взросления характер потребительского поведения меняется. Если в молодом возрасте индивид работает и делает сбережения, то в старости он эти сбережения тратит. Именно на это будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Пол Самуэльсон обратил более пристальное внимание. В декабре 1958 года он опубликовал работу «Моделирование процентной ставки на основе соотношения потребления и кредитования при наличии или отсутствии социальной концепции денег», в которой была представлена простая модель экономики на основе идей Ойген фон Бём-Баверка о причинах существования процентного дохода на капитал, где были выделены три периода жизни индивидуума и соответствующее им потребление (в первых двух он работает, в третьем — выходит на пенсию). В декабре 1965 года Питер Даймонд, также будущий лауреат Нобелевской премии по экономике, опубликовал работу «Национальный долг в неоклассической модели роста» в журнале The American Economic Review, в которой он развил идеи Самуэльсона с учётом выводов модели Солоу и модели Рамсея — Касса — Купманса и представил модель пересекающихся поколений, также известную как модель Даймонда, модель Самуэльсона — Даймонда.

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность своих трат. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт [math]\displaystyle{ Y }[/math], используемый как для потребления [math]\displaystyle{ C }[/math], так и для производственных нужд (учитывается как инвестиции) [math]\displaystyle{ I }[/math]. Темпы технологического прогресса [math]\displaystyle{ g }[/math], роста населения [math]\displaystyle{ n }[/math] и норма выбытия оборудования (капитала) [math]\displaystyle{ \delta }[/math] — постоянны и задаются экзогенно. Индивидуумы живут два периода: в первом они работают, потребляют и сберегают, во втором — только потребляют, тратя накопленные в первом периоде сбережения (выходят на пенсию). Альтруистические связи между поколениями отсутствуют: молодые не помогают старикам и не получают наследство. Время [math]\displaystyle{ t }[/math] изменяется дискретно. Один период в модели соответствует смене поколений, то есть в реальном выражении эквивалентен примерно 25—30 годам.

Закрытость экономики означает, что произведённый продукт тратится только на сбережение и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, инвестиции равны сбережениям:[math]\displaystyle{ S=I }[/math], [math]\displaystyle{ Y=C+I }[/math].

Производственная функция [math]\displaystyle{ Y(K,L,E) }[/math] удовлетворяет неоклассическим предпосылкам:

1. технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): [math]\displaystyle{ Y_t=Y(K_t, L_tE_t), E_t=(1+g)E_{t-1}, g = const }[/math].
2. в производственной функции используются труд [math]\displaystyle{ L }[/math] и капитал [math]\displaystyle{ K }[/math], она обладает постоянной отдачей от масштаба: [math]\displaystyle{ Y(a K,a LE)=a Y(K,LE) }[/math].
3. предельная производительность факторов положительная и убывающая: [math]\displaystyle{ \frac{\partial Y}{\partial K}\gt 0, \frac{\partial^2 Y}{\partial K^2}\lt 0,\frac{\partial Y}{\partial L}\gt 0, \frac{\partial^2 Y}{\partial L^2}\lt 0 }[/math].
4. производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: [math]\displaystyle{ \lim_{K \to 0}{\frac{\partial Y}{\partial K}}=\lim_{L \to 0}{\frac{\partial Y}{\partial L}}=+\infin, \lim_{K \to +\infin}{\frac{\partial Y}{\partial K}}=\lim_{L \to +\infin}{\frac{\partial Y}{\partial L}}=0 }[/math].
5. для производства необходим каждый фактор: [math]\displaystyle{ Y(K,0)=Y(0,LE)=0 }[/math].

Население [math]\displaystyle{ L_t }[/math] растёт с постоянным темпом [math]\displaystyle{ n }[/math]: [math]\displaystyle{ L_t = (1+n)L_{t-1}, n = const }[/math]. В каждом периоде [math]\displaystyle{ t }[/math] живёт [math]\displaystyle{ L_t }[/math] молодых и [math]\displaystyle{ L_{t-1} }[/math] пожилых индивидов. Совокупное потребление [math]\displaystyle{ C }[/math] равно:

[math]\displaystyle{ C_t=c_{1t}L_t+c_{2t}L_{t-1} }[/math],

где [math]\displaystyle{ c_{1t}L_t }[/math] — потребление работающего поколения, [math]\displaystyle{ c_{2t}L_{t-1} }[/math] — потребление вышедшего на пенсию поколения.

Молодой индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (неким количеством единственного товара, деньги отсутствуют). Каждый индивид выбирает и разделяет полученное между потреблением в молодости или сбережением и потреблением в старости, максимизируя межвременную полезность своих трат, которая описывается следующей функцией:

[math]\displaystyle{ U_t=\frac{c_{1t}^{1-\theta}-1}{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho}\times\frac{c_{2t+1}^{1-\theta}-1}{1-\theta} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \frac{1}{\theta} }[/math] — эластичность замещения по времени, [math]\displaystyle{ \theta\gt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta = const }[/math], [math]\displaystyle{ {\rho} }[/math] — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, [math]\displaystyle{ \rho\gt -1 }[/math], [math]\displaystyle{ \rho = const }[/math].

Функция удовлетворяет условиям [math]\displaystyle{ u'(c)\gt 0, u''(c)\lt 0 }[/math] и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности; при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): [math]\displaystyle{ \lim_{c \to 0} u'(c)=+\infin; \lim_{c \to \infty}u'(c)=0 }[/math].

Вначале весь капитал [math]\displaystyle{ K_0 }[/math] находится у пожилых, они его полностью тратят в течение первого периода. Сбережения равны инвестициям, которые делает молодое поколение. Инвестиции в свою очередь равны капиталу в следующем периоде:

[math]\displaystyle{ S_t=s_tL_t=I_t=K_{t+1} }[/math],

где [math]\displaystyle{ s_t }[/math] — сбережения в расчёте на одного работника.

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу эффективного труда [math]\displaystyle{ y=\frac{Y}{LE} }[/math], капитал на единицу эффективного труда [math]\displaystyle{ k=\frac{K}{LE} }[/math].

Задача потребителя

Потребитель максимизирует межвременную полезность своих трат. Поскольку, согласно модели, индивид работает только в молодости (первом периоде), межвременное бюджетное ограничение потребителя соответствует формуле:

[math]\displaystyle{ c_{1t}+\frac{c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}=w_tE_t }[/math].

Таким образом, задача потребителя имеет следующий вид:

[math]\displaystyle{ U_t \rightarrow max }[/math]

при условии:

[math]\displaystyle{ w_tE_t-c_{1t}-\frac{c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}=0 }[/math],

где [math]\displaystyle{ w_t }[/math] — реальная заработная плата в периоде [math]\displaystyle{ t }[/math].

Для решения этой задачи составляется функция Лагранжа и находится её максимум.

Нахождение максимума функции Лагранжа

[math]\displaystyle{ L=\frac{c_{1t}^{1-\theta}-1}{1-\theta}+\frac{c_{2t}^{1-\theta}-1}{(1-\theta)(1+\rho)}+\lambda \biggl(w_tE_t-c_{1t}-\frac{c_{2t+1}}{r_{t+1}}\biggr) }[/math].

Условия максимума:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial c_{1t}}=c_{1t}^{-\theta}-\lambda=0, \\ \frac{\partial L}{\partial c_{2t+1}}=\frac{c_{2t+1}^{-\theta}}{1+\rho}-\frac{\lambda}{1+r_{t+1}}=0, \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=w_tE_t-c_{1t}-\frac{c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}=0. \end{cases} }[/math]

Результатом решения этой системы уравнений является норма сбережений [math]\displaystyle{ \bar{s}_t }[/math] для периода [math]\displaystyle{ t }[/math]:

[math]\displaystyle{ \bar{s}_t=\frac{{(1+r_{t+1})}^{\frac{1-\theta}{\theta}}}{(1+\rho)^\frac{1}{\theta}+{(1+r_{t+1})}^{\frac{1-\theta}{\theta}}} }[/math].

Задача фирмы

Фирма максимизирует свою прибыль [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. Выпуск фирмы описывается неоклассической производственной функцией:

[math]\displaystyle{ y_t=f(\hat{k}_t) }[/math], где [math]\displaystyle{ \hat{k}_t=\frac{K_t}{L_tE_t} }[/math].

Задача фирмы выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ \pi=F(K_t,L_t)-r_tK_t-w_tL_t \rightarrow \max }[/math]

В условиях совершенной конкуренции решение задачи фирмы приводит к тому, что плата за труд (заработная плата) [math]\displaystyle{ w }[/math] и плата за капитал [math]\displaystyle{ r }[/math] (процентная ставка) равны соответствующим предельным производительностям:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial Y_t}{\partial L}=w_t=f(\hat{k}_t)-\hat{k}_tf'(\hat{k}_t) }[/math],

[math]\displaystyle{ \frac{\partial Y_t}{\partial K}=r_t+\delta=f'(\hat{k}_t) }[/math].

Общее экономическое равновесие

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, вариант 1

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, вариант 2

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, производственная функция Кобба — Дугласа, логарифмическая функция полезности: достижение равновесия

По предпосылкам модели:[math]\displaystyle{ K_{t+1} = s_tL_t }[/math]. Откуда с учётом решения задач потребителя и фирмы, получаем:

[math]\displaystyle{ \hat{k}_{t+1}=\frac{1}{(1+n)(1+g)}\times\frac{(1+f'(\hat{k}_{t+1})-\delta)^{\frac{1-\theta}{\theta}}} {(1+\rho)^{\frac{1}{\theta}}+(1+f'(\hat{k}_{t+1})-\delta)^{\frac{1-\theta}{\theta}}}\times (f(\hat{k}_t)-\hat{k}_tf'(\hat{k}_t)) }[/math].

Поскольку [math]\displaystyle{ \hat{k}_{t+1} }[/math] входит как в правую, так и в левую части уравнения, найти явные решения этого уравнения можно только введя дополнительные предпосылки. При условии, что потребление в первом периоде и потребление во втором периоде являются совершенными заменителями, то равновесие существует. Если при этом сбережения монотонно возрастают по процентной ставке ([math]\displaystyle{ s_t'(r_t)\gt 0 }[/math]), то это равновесие является единственным.

Если обозначить [math]\displaystyle{ s(r_{t+1},w_t)=\frac{s_t}{E_t} }[/math], где [math]\displaystyle{ s(r_{t+1},w_t) }[/math] — сбережения в расчёте на единицу труда с постоянной эффективностью в периоде [math]\displaystyle{ t }[/math], то уравнение примет вид:

[math]\displaystyle{ (1+n)(1+g)\hat{k}_{t+1}=s\bigl([f'(\hat{k}_{t+1})-\delta],[f(\hat{k}_1)-\hat{k}_tf'(\hat{k}_t)]\bigr) }[/math].

Откуда можно выразить динамику капиталовооружённости:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial\hat{k}_{t+1}}{\partial\hat{k}_t}=\frac{-s'_w\hat{k}_tf''(\hat{k}_t)} {(1+n)(1+g)-s'_rf''(\hat{k}_{t+1})} }[/math].

В результате может получиться два варианта фазовой плоскости (см. иллюстрации). В первом варианте кривая [math]\displaystyle{ \frac{\partial\hat{k}_{t+1}}{\partial\hat{k}_t} }[/math] выходит из начала координат под углом более чем 45° (выше линии [math]\displaystyle{ \hat{k}_t=\hat{k}_{t+1} }[/math]), и в модели будет нечётное число равновесных состояний (пересечения [math]\displaystyle{ \frac{\partial\hat{k}_{t+1}}{\partial\hat{k}_t} }[/math] и [math]\displaystyle{ \hat{k}_{t+1}=\hat{k}_t }[/math]), из которых пересечения, по порядку идущие нечётными от начала координат (первое, третье, пятое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие чётными (второе, четвёртое и т. д.) — неустойчивыми. Во втором варианте кривая [math]\displaystyle{ \frac{\partial\hat{k}_{t+1}}{\partial\hat{k}_t} }[/math] выходит из начала координат под углом менее чем 45° (ниже линии [math]\displaystyle{ \hat{k}_t=\hat{k}_{t+1} }[/math]), и в модели будет чётное число равновесных состояний, из которых пересечения, идущие чётными от начала координат (второе, четвёртое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие нечётными (первое, третье и т. д.) — неустойчивыми.

Равновесие для производственной функции Кобба-Дугласа и логарифмической функции полезности

Наглядно достижение равновесия можно продемонстрировать в случае логарифмической функции полезности и производственной функции Кобба-Дугласа. В этом случае [math]\displaystyle{ \theta = 0 }[/math], а полезность трат для индивида описывается функцией:

[math]\displaystyle{ U=\ln(c_{1t})+\frac{\ln(c_{2t+1})}{1+\rho} }[/math].

Выпуск [math]\displaystyle{ Y }[/math] описывается следующей функцией:

[math]\displaystyle{ Y=K^\alpha(LE)^{1-\alpha} }[/math].

Тогда, норма сбережений равна: [math]\displaystyle{ \bar{s}_t=\bar{s}=\frac{1}{2+\rho} }[/math], а устойчивый уровень капиталовооружённости (в данном случае существует только одно равновесное состояние) равен: [math]\displaystyle{ \hat{k}^*=\biggl(\frac{1-\alpha}{(1+n)(1+g)(2+\rho)}\biggr)^\frac{1}{1-\alpha} }[/math].

Процесс достижения равновесия на фазовой плоскости для рассматриваемого случая показан на иллюстрации.

Устойчивый уровень выпуска на единицу труда с постоянной эффективностью [math]\displaystyle{ \hat{y}^* }[/math] в этом случае составляет:

[math]\displaystyle{ \hat{y}^*=\hat{k}^{*\alpha}=\biggl(\frac{1-\alpha}{(1+n)(1+g)(2+\rho)}\biggr)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}} }[/math].

Как и в моделях Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, потребление максимально в том случае, если [math]\displaystyle{ f'(\hat{k}^*)=n+g+\delta }[/math]. Таким образом, в модели возможна динамическая неэффективность (избыточное накопление капитала), в том случае, если:

[math]\displaystyle{ \frac{\alpha(1+n)(1+g)(2+\rho)}{1-\alpha}\lt n+g+\delta }[/math].

Конвергенция

Модель предполагает наличие условной конвергенции, то есть, что страны с малым уровнем капиталовооружённости будут расти более высокими темпами, чем страны с большим уровнем капиталовооружённости, при условии, что устойчивое состояние у них одинаково. Частный случай с производственной функцией Кобба — Дугласа и логарифмической полезностью позволяет оценить, насколько быстро она происходит. Скорость приближения к устойчивому состоянию можно оценить при помощи линейной аппроксимации [math]\displaystyle{ \hat{k}_{t+1} }[/math] в зависимости от [math]\displaystyle{ \hat{k}_t }[/math] посредством разложения в ряд Тейлора:

[math]\displaystyle{ \hat{k}_{t+1}\approx\hat{k}^*+\frac{\partial\hat{k}_{t+1}}{\partial\hat{k}_t}\vert_{\hat{k}_t=\hat{k}^*} (\hat{k}_t-\hat{k}^*) }[/math].

Если обозначить производную в точке равновесия [math]\displaystyle{ \lambda=\frac{\partial\hat{k}_{t+1}}{\partial\hat{k}_t}\vert_{\hat{k}_t=\hat{k}^*} }[/math], то путем рекуррентных постановок получается следующее уравнение приближения к равновесному состоянию:

[math]\displaystyle{ \hat{k}_{t+1}-\hat{k}^*=\lambda^t(\hat{k}_0-\hat{k}^*) }[/math].

Для рассматриваемого случая, [math]\displaystyle{ \lambda=\alpha }[/math], потому:

[math]\displaystyle{ \hat{k}_{t+1}-\hat{k}^*=\lambda^t(\hat{k}_0-\hat{k}^*)=\alpha^t(\hat{k}_0-\hat{k}^*) }[/math].

Таким образом, в рассматриваемом случае скорость конвергенции напрямую зависит от [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — доли дохода на капитал в общем доходе. Чем меньше доля дохода на капитал, тем быстрее происходит движение к равновесному состоянию, и тем быстрее бедные страны догоняют богатые.

Фискальная политика в модели

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, фискальная политика

Модель позволяет оценить влияние фискальной политики на равновесие. В рамках модели, увеличение налогов и государственных расходов приводит к равновесию с меньшим уровнем капиталовооружённости, выпуска и потребления. Влияние бюджетно-налоговой политики показано на диаграмме. Кривая [math]\displaystyle{ \frac{\partial\hat{k}_{t+1}}{\partial\hat{k}_t} }[/math] сдвигается вниз на величину [math]\displaystyle{ \hat{G}_t=\hat{T}_t }[/math] — налогов (государственных расходов) на единицу эффективного труда, величина налогов предполагается равной величине государственных расходов, которые не влияют на полезность индивидов и будущий выпуск. Равновесие сдвигается из точки [math]\displaystyle{ A }[/math] (устойчивое равновесие) в точку [math]\displaystyle{ B }[/math] (устойчивое равновесие), и устанавливается на более низком уровне капиталовооружённости [math]\displaystyle{ \hat{k}^*:\hat{k}_B^*\lt \hat{k}_A^* }[/math] и потребления. Появившаяся третья равновесная точка [math]\displaystyle{ C }[/math] является неустойчивым равновесием. Равенство Рикардо — Барро не выполняется. Таким образом, в модели государственные расходы вытесняют как потребление, так и инвестиции.

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

Одним из существенных недостатков модели является полное отрицание альтруистических связей между поколениями. Чтобы преодолеть этот недостаток, Джеймс Андреони, а также Роберт Барро и Хавьер Сала-и-Мартин предложили ввести в функцию полезности трат каждого индивида полезность трат его детей с некоторым коэффициентом. В этом случае модель превращается в дискретный аналог модели Рамсея — Касса — Купманса для случая когда [math]\displaystyle{ \rho = 0 }[/math]. Динамическая неэффективность становится невозможной, а последствия бюджетно-налоговой политики отвечают равенству Рикардо — Барро. Однако в этом случае модель приобретает и недостатки модели Рамсея — Касса — Купманса: утрачивается возможность несовершенства рынка (динамической неэффективности), а значит, модель перестает объяснять причины, приводящие к неоптимальному по Парето равновесию в экономике.

Пол Самуэльсон использовал данную модель для исследования влияния распределительной пенсионной системы на общее экономическое равновесие. В работе показано, что, если в экономике установилось динамически неэффективное равновесие с избыточным накоплением капитала, то распределительная пенсионная система позволяет перейти к более оптимальному распределению ресурсов с более высоким потреблением. Если же используется накопительная пенсионная система, то экономическое равновесие остается прежним.

Модификация модели с непрерывным временем, в которой жизнь индивида не делится на периоды молодости и старости, однако индивид может умереть в любой момент с некоторой вероятностью, была разработана Менахемом Яари и Оливье Бланшаром. Из-за того, что в этой модификации вероятность смерти индивида не меняется с возрастом, она получила название «модель вечной молодости». В ней существует единственное равновесное значение капиталовооружённости, которое при этом устойчиво, и так же, как и в основном варианте, присутствует возможность избыточного накопления в точке равновесия.

В целом, модель пересекающихся поколений более реалистично описывает общее экономическое равновесие и процесс его достижения, чем модели Солоу или Рамсея — Касса — Купманса. Преимуществом модели является возможность динамической неэффективности, однако в модели она связана с избыточным накоплением капитала, которое не является типичной проблемой развивающихся стран, напротив, характеризующихся недостаточным накоплением капитала. К тому же, модель предполагает наличие условной конвергенции, что означает, что бедные страны должны расти быстрее богатых при условии схожести структурных параметров, но в реальности этого не происходит, как показали, например, исследования Р. Холла и Ч. Джонса, Дж. Де Лонга, П. Ромера. Также, как и в моделях Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, научно-технический прогресс в модели пересекающихся поколений не является следствием принятия решений экономическими агентами, а задаётся экзогенно. Потому, при всех своих достоинствах, модель не даёт ответа на вопрос, почему одни страны богатые, а другие — бедные, и почему вторые не могут догнать первых.

Литература

• Асемоглу Д. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9.
• Барро Р. Д., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост / Пер. с англ.. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Бланшар О. Ж., Фишер С. Лекции по макроэкономике = Lectures on macroeconomics. — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2014. — 680 с. — ISBN 978-5-7749-0829-5.
• Ромер Д. Высшая макроэкономика = Advanced Macroeconomics. — М.: Издательский дом ВШЭ, 2014. — 855 с. — ISBN 978-5-7568-0406-2.
• Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М.: ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6.
• Andreoni J. Giving with Impure Altruism: Applications to Charity and Ricardian Equivalence // Journal of Political Economy. — 1989. — Vol. 97, № 6. — P. 1447—1458. — doi:10.1086/261662.
• Blanchard O. J. Debt, Deficits and Finite Horizons // Journal of Political Economy. — 1985. — Vol. 93, № 2. — P. 223—247. — doi:10.1086/261297.
• De Long J. B. Productivity Growth, Convergence, and Welfare: Comment // The American Economic Review. — 1988. — Vol. 78, № 5. — P. 1138—1154.
• Diamond P. A. National Debt in Neoclassical Growth Model // The American Economic Review. — 1965. — Vol. 55, № 5. — P. 1126—1150.
• Hall R. E., Jones C. I. The Productivity of Nations // NBER Working Paper. — 1996. — № 5812. — doi:10.3386/w5812.
• Romer P. M. Human Capital And Growth: Theory and Evidence // NBER Working paper. — 1989. — № 3173. — doi:10.3386/w3173.
• Samuelson P. A. An exact Consumption-Loan Model of Interest with or without the Social Contrivance of Money // Journal of Political Economy. — 1958. — Vol. 66, № 6. — P. 467—482. — doi:10.1086/258100.
• Samuelson P. A. Optimum Social Security in a Life-Cycle Growth Model // International Economic Review. — 1975. — Vol. 16, № 3. — P. 539—544. — doi:10.2307/2525994.
• Yaari M. E. Uncertain Lifetime, Life Insurance, and the Theory of the Consumer // The Review of Economic Studies. — 1965. — Vol. 32, № 2. — P. 137—150. — doi:10.2307/2296058.