Модальная логика

Мода́льная ло́гика (от лат. modus — способ, мера) — логика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и предикатов есть модальности (модальные операторы, другие названия: модальные понятия, модальные отношения, модальные характеристики, оценки).

Логическая теория является модальной, если^[1]

она содержит хотя бы три модальных оператора
она является надстройкой над логикой ассерторических высказываний
квалификации, даваемые сильными её модальностями, несовместимы с квалификациями, даваемыми слабыми её модальностями
из простой истинности или ложности высказывания нельзя заключить, какую именно модальную характеристику должна иметь устанавливаемая этим высказыванием связь
из квалификации высказывания с помощью слабого модального понятия не следует ни то, что высказывание истинно, ни то, что оно ложно
если высказыванию приписана слабая модальная характеристики, то его отрицанию должна быть приписана она же

Модальные операторы используются для оценки истинности суждения (развёрнуто: для оценки истинности суждений об истинности какой-то ситуации или суждения). Можно сказать, что модальная логика — это изучение дедуктивного поведения выражений «необходимо, что», «возможно, что» и подобных (в узком смысле её и называют^[2] «логикой необходимости и возможности»). Однако, термин «модальная логика» относится также и к другим оперирующим похожими понятиями системам (см. ниже разновидности модальностей). Модальные логики применимы в информатике и особенно — в философии, где суждения с модальностями применяются широко и вместе с тем запутанно.^[3]

Перечисленные выше требования считаются необходимыми для любой модальной логики и первое из них соответствует самому определению таковой, а остальные предотвращают вырождение модальной логики в обычную логику высказываний (в которой нет квалификаций посредством модальных операторов). Однако, одна из простейших модальных логик — логика Крипке, предложенная Солом Крипке, называемая в его честь «логика К» — содержит только два модальных оператора (из обязательных только «необходимо», а второй — необязательный «возможно») и не является^[3] достаточно сильной для адекватного учёта оператора «необходимо».

Модальные логики применяются^[2] в философии языка, эпистемологии, метафизике и формальной семантике. При этом математический аппарат модальной логики оказался полезным во многих других областях, включая^[4] теорию игр, верификацию программ, веб-дизайн, теорию множеств^[5] и социальную эпистемологию^[6]

Сравнение с формальной логикой

Формальную логику можно упростить до цепочки истинное знание→процесс→выводы^{[источник не указан 1497 дней]}.

Откуда брать истинное знание для формальных логик если только единичные истинные знания универсальны?..^{[источник не указан 1497 дней]}

Логика должна отвечать на реальные жизненные ситуации, а универсальных истин немного.^{[источник не указан 1497 дней]}

Модальная логика в широком смысле оперирует^{[источник не указан 1497 дней]}:

знаниями
предположениями (то, что не знаем)
вопросами (частично в логике знаний)
задачами (что сделать, чтобы получить знание)^{[уточнить]}

То есть является более реальным/практичным расширением логики высказываний и логики первого порядка.^{[источник не указан 1497 дней]}

Примеры утверждений

Например, модальная логика способна оперировать утверждениями типа «Москва всегда была столицей России» или «Санкт-Петербург, когда-то в прошлом, был столицей России», которые невозможно или крайне сложно выразить в немодальном языке. Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие, например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика доказуемости).^{[источник не указан 1497 дней]}

Обычно для обозначения модального оператора используется [math]\displaystyle{ \Box }[/math] и двойственный^{[источник не указан 1294 дня]} к нему [math]\displaystyle{ \diamondsuit }[/math]:

[math]\displaystyle{ \diamondsuit A = \neg \Box \neg A. }[/math]

Это отражает то, что сказать «Москва когда-то была столицей России» то же самое, что сказать «не верно, что Москва никогда не была столицей России».^{[источник не указан 1497 дней]}

Модальности

Модальности бывают разных типов. Модальность — это оценка, квалификация, которая фиксирует характер утверждения. Высказывания, фиксирующие только сам факт наличия или отсутствия какой-то ситуации называются ассерторическими. Высказывания, которые характеризуют кроме этого характер такого утверждения — то есть содержат модальности — называются модальными. Модальности располагают в ряд по силе^[7]: самая сильная модальность — необходимо; более слабая модальность — это отсутствие модальности, то есть модальность ассерторического высказывания; самая слабая модальность — модальность возможности. Модальность «Невозможно Б» определяется как «Необходимо, что неверно Б» (важно, что хотя в разговорном русском языке её название выглядит похоже на отрицание возможности, в определении не фигурирует отрицание возможности — модальная логика вообще не требует задания модальности «возможно»).

Модальные понятия вне контекста задаются по схеме
- сильный положительный (утвердительный) оператор, иногда обозначают как V (вне контекста, чтобы вид высказываний сохранялся независимо от сорта модальной логики)
- сильный отрицательный (запрещающий) оператор, Y
- слабый модальный оператор, W
- дополнительный слабый оператор (U), определяемый посредством предыдущих (обязательных) операторов

При таком способе задания, модальные операторы играют роль трёх-четырёхзначных функций оценки истинности или детерминированности. Альтернативно^[4], в семантике Крипке, модальная логика может быть задана через 2 модальных оператора, которые играют роль аналогичную дополнительным кванторам ("необходимо" подобно квантору "любой", а "возможно" подобно квантору "существует"). Далее следует перечисление модальностей в порядке соответствия силы модальности (в качестве базового списка можно рассматривать логические алетические модальности; первые три модальности в каждом пункте задаются обязательно, модальность «возможно» не всегда возможно задать, она не всегда задаётся и, в отличие от первых трёх модальностей, её нет в списке обязательных модальностей для того, чтобы логика считалась логикой модальностей и функционировала как таковая)

Алетические (от др.-греч. ἀλήθεια — истина) модальности:^[1]
- Логические:
  - необходимо, V
  - случайно, W
  - невозможно, Y
  - возможно, U
- Онтологические (также называются фактическими, эмпирическими, физическими или каузальными):
  - [math]\displaystyle{ \Box }[/math] — необходимо, V
  - [math]\displaystyle{ \triangle }[/math] — случайно, W
  - невозможно, Y
  - [math]\displaystyle{ \Diamond }[/math] — возможно, U

Алетические модальности оценивают истинность утверждений об истинности ситуаций с позиции либо законов логики (логические алетические модальности), либо известных фактов и законов природы (онтологические алетические модальности). Иначе можно сказать, что они оценивают, насколько описываемая ситуация детерминирована некоторым множеством законов и фактов.^[7] Например, утверждение «необходимо, что всякое животное смертно» является истинным, если интерпретировать «необходимо» как онтологическую модальность (так как накопленные научные факты указывают на это) — но оно же является ложным, если интерпретировать «необходимо» как логическую модальность (так как выражает высказывание «для всякого х верно, что если х имеет свойство А, то х имеет свойство Б», не имеющее форму общезначимого высказывания).^[7] Другой пример^[7] — высказывание «возможно, что существует вечный двигатель». Если модальность интерпретировать как логическую, то высказывание истинно (так как выражает лишь, что существует х, обладающий каким-то свойством); но если модальность интерпретировать как онтологическую, то высказывание ложно (так как противоречит известным законам физики и фактам, на основании которых те установлены).

Эпистемические^[1]
- Касающиеся знаний^[8]
  - Доказуемо (или доказано)
  - Неразрешимо (непроверяемо)
  - Опровержимо (или опровергнуто)
- Касающиеся убеждений (доксастические)
  - Полагает (убеждён)
  - Сомневается
  - Отвергает
  - Допускает, U

Разница между оценками знаний и убеждений в данном случае заключается в том, что утверждение «А полагает, что Б» фиксирует лишь мнение А — в то время, как утверждение «А знает, что Б» фиксирует следующую ситуацию: «А полагает, что Б и Б имеет место в действительности».^[7]

Деонтические (нормативно-правовые)^[1]
- Обязательно, V, O
- Нормативно-безразлично, W
- Запрещено, Y, F
- Разрешено, U, P

Аксиологические (др.-греч. ἀξίᾱ — ценность)^[1]:
- Абсолютные
  - хорошо
  - нейтрально (аксиологически безразлично)
  - плохо
- Сравнительные
  - лучше
  - равноценно
  - хуже

Аксиологическую логику разработал философ А. А. Ивин.

Временные^[1]:
- Абсолютные
  - всегда
  - только иногда
  - никогда
- Сравнительные
  - раньше
  - одновременно
  - позже («а затем», «потом»)

Кроме этого могут быть введены и другие модальности^[7]: «всегда будет» (ситуация будет иметь место в каждый момент будущего), «было» (ситуация имела место когда-то в прошлом) и пр. Например^[3], можно задать:

- - Всегда было, G
  - Было, H
  - Всегда будет, F
  - Будет, P

Кроме этого, модальности делятся по нескольким другим признакам.^[7]

По количеству местности модальности (так же, как говорят о местности пропозициональных связок)

Абсолютные модальности — это одноместные (унарные) модальности, которые образуют модальное высказывание из одного высказывания
Относительные модальности — это модальности, местность которых больше 1 (например, «А позже Б», «Б лучше С» и т. п.)

По тому, оценивается ли ситуация с позиции определённого субъекта

Личностные модальности
Безличностные модальности

По тому, какую часть высказывания характеризует модальный оператор

Внутренние модальности (de re, о вещи, о предмете) — оценивают присущесть свойств предметам в высказывании
Внешние модальности (de dicto, о сказанном, о речи) — оценивают характер самого высказывания

Например^[7], модус силлогистики (Barbara)

Всякий А есть Б

Всякий С есть А

Следовательно, всякий С есть Б

Является верным, если рассматривать его как содержащий внутреннюю модальность «логически необходимо» — но он же является логически ложным, если его рассматривать как содержащий внешнюю модальность «логически необходимо». Верное утверждение:

Всякий А необходимо есть Б

Всякий С есть А

Следовательно, всякий С необходимо есть Б

Ложное утверждение:

Необходимо, что всякий А есть Б

Всякий С есть А

Следовательно, необходимо, что всякий С есть Б

Существует два правила^[7], которые необходимо добавить к силлогистике для проверки силлогизмов с модальностью de dicto:

модальность заключения не может быть сильнее, чем в слабейшей по модальности посылке и
если одна из посылок проблематическая, то другая должна быть аподиктической

Аподиктическая — «о необходимо присущем» или «о необходимо не присущем»; проблематическая — «о возможно присущем» или «о возможно не присущем».

Логика знаний

Оперирует понятиями «знает», «полагает».

Деонтическая логика

Оперирует понятиями: обязательство, разрешение, норма.^{[источник не указан 1497 дней]}

«Ты обязан это сделать» («Твой долг это сделать») либо «Ты можешь это сделать»^{[источник не указан 1497 дней]}

Эти понятия пытались внедрить достаточно давно, но значительный результат был только у Георга фон Вригта в Deontic Logic, Mind, New Series, Vol. 60, No. 237. (Jan., 1951), pp. 1-15.^[9]

Статья 2007 года о реализации деонтической логики. A Formal Language for Electronic Contracts^[10] использующий µ-calculus и реализацию mu-cke от A. Biere^[11]

Семантика

В математической логике и информатике наиболее распространённой является семантика Крипке, также существуют алгебраическая семантика, топологическая семантика и ряд других.^{[источник не указан 1497 дней]}

Синтаксис

Модальная формула определяется рекурсивно как слово в алфавите состоящем из счетного множества пропозициональных переменных [math]\displaystyle{ PL }[/math], классических связок [math]\displaystyle{ \to, \bot }[/math], скобок [math]\displaystyle{ ( }[/math], [math]\displaystyle{ ) }[/math] и модального оператора [math]\displaystyle{ \Box }[/math]. А именно, формулой является^{[источник не указан 1497 дней]}

[math]\displaystyle{ p }[/math] для любого [math]\displaystyle{ p \in PL }[/math].
[math]\displaystyle{ \bot }[/math].
[math]\displaystyle{ (A \to B) }[/math], если [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] — формулы.
[math]\displaystyle{ (\Box A) }[/math], если [math]\displaystyle{ A }[/math] — формула.

Нормальной модальной логикой называется множество модальных формул, содержащее все классические тавтологии, аксиому нормальности^{[источник не указан 1497 дней]}

[math]\displaystyle{ \Box(p \to q) \to (\Box p \to \Box q) }[/math]

и замкнутое относительно правил Modus ponens [math]\displaystyle{ \frac{A, A\to B}{B} }[/math], подстановки [math]\displaystyle{ \frac{A(p)}{A(B)} }[/math] и введение модальности [math]\displaystyle{ \frac{A}{\Box A} }[/math].

Минимальная нормальная модальная логика обозначается [math]\displaystyle{ K }[/math].

Замечания

теория двойников обеспечивает перевод языка квантифицированной модальной логики в первопорядковую теорию (но не наоборот) без каких-либо интенсиональных операторов типа «возможно» и «необходимо»^[12]^{[источник не указан 1497 дней]}

Примечания

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 Ивин А. А. «Логика норм». — Изд-во МГУ. — 1973
↑ ^2,0 ^2,1 Sider T. (2010). Logic for philosophy. Oxford University Press
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Modal Logic (Stanford Encyclopedia of Philosophy) (неопр.). Дата обращения: 4 октября 2020. Архивировано 7 октября 2020 года.
↑ ^4,0 ^4,1 van Benthem, Johan. Modal Logic for Open Minds. — CSLI, 2010. Архивная копия от 19 февраля 2020 на Wayback Machine
↑ (2012) «The set-theoretic multiverse». The Review of Symbolic Logic 5 (3): 416–449. arXiv:1108.4223. doi:10.1017/S1755020311000359.
↑ (2019) «Dynamic Epistemic Logics of Diffusion and Prediction in Social Networks.». Studia Logica 107 (3): 489–531. doi:10.1007/s11225-018-9804-x.
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 ^7,4 ^7,5 ^7,6 ^7,7 ^7,8 Бочаров В.А, Маркин В. И. «Введение в логику. Университетский курс». — М.: ИД «ФОРУМ»:ИНФРА-М. — 2008-
↑ По Ивину А.А («Логика норм», 1973), четвёртая модальность — эквивалентная по статусу «возможно» — для знаний не задана; альтернативно, модальности «возможно P» соответствует «только иногда имеет место P» (тот же источник)
↑ http://links.jstor.org/sici?sici=0026-4423%28195101%292%3A60%3A237%3C1%3ADL%3E2.0.CO%3B2-C
↑ doi:10.1007/978-3-540-72952-5_11
↑ A. Biere. mu-cke — efficient mu-calculus model checking. In O. Grumberg, editor, International Conference on Computer-Aided Verification (CAV’97), number 1254 in Lecture Notes in Computer Science, pages 468—471. © Springer-Verlag, 1997
↑ Карпенко Александр Степанович в Вопросы философии 2016 № 12

Литература

Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic.— Oxford University Press, 1997. (на английском)
Blackburn P., de Rijke M., Venema Y. Modal Logic.— CambridgeUniversity Press, 2002.
Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. — М: Наука, 1976. — 720с.
Фейс Р., Модальная логика.— Главная редакция физ-мат литературы изд-ва «Наука», М. 1974.
Шкатов Д. П., Модальная логика и модальные фрагменты классической логики.— Институт философии РАН, 2008. ISBN 978-5-9540-0128-0 (см. описание книги: в Озоне)

См. также

Логика знаний

Ссылки

http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/
https://cgi.csc.liv.ac.uk/~frank/MLHandbook Handbook of Modal Logic за авторством Patrick Blackburn, Johan van Benthem, Frank Wolter

[IvinNorms1973-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 Ивин А. А. «Логика норм». — Изд-во МГУ. — 1973

[Sid-2] 2,0 ^2,1 Sider T. (2010). Logic for philosophy. Oxford University Press

[stan-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Modal Logic (Stanford Encyclopedia of Philosophy) (неопр.). Дата обращения: 4 октября 2020. Архивировано 7 октября 2020 года.

[openminds-4] 4,0 ^4,1 van Benthem, Johan. Modal Logic for Open Minds. — CSLI, 2010. Архивная копия от 19 февраля 2020 на Wayback Machine

[5] (2012) «The set-theoretic multiverse». The Review of Symbolic Logic 5 (3): 416–449. arXiv:1108.4223. doi:10.1017/S1755020311000359.

[6] (2019) «Dynamic Epistemic Logics of Diffusion and Prediction in Social Networks.». Studia Logica 107 (3): 489–531. doi:10.1007/s11225-018-9804-x.

[MarkinIntroduction-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 ^7,4 ^7,5 ^7,6 ^7,7 ^7,8 Бочаров В.А, Маркин В. И. «Введение в логику. Университетский курс». — М.: ИД «ФОРУМ»:ИНФРА-М. — 2008-

[8] По Ивину А.А («Логика норм», 1973), четвёртая модальность — эквивалентная по статусу «возможно» — для знаний не задана; альтернативно, модальности «возможно P» соответствует «только иногда имеет место P» (тот же источник)

[9] ttp://links.jstor.org/sici?sici=0026-4423%28195101%292%3A60%3A237%3C1%3ADL%3E2.0.CO%3B2-C

[10] :10.1007/978-3-540-72952-5_11

[11] A. Biere. mu-cke — efficient mu-calculus model checking. In O. Grumberg, editor, International Conference on Computer-Aided Verification (CAV’97), number 1254 in Lecture Notes in Computer Science, pages 468—471. © Springer-Verlag, 1997

[12] Карпенко Александр Степанович в Вопросы философии 2016 № 12

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]