Минор (линейная алгебра)

Минор в линейной алгебре — определитель некоторой меньшей квадратной матрицы [math]\displaystyle{ B }[/math], вырезанной из заданной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] путём удаления одной или нескольких её строк и столбцов. Порядок матрицы [math]\displaystyle{ B }[/math] называется порядком этого минора. Если на диагонали матрицы [math]\displaystyle{ B }[/math] расположены только диагональные элементы матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math], то минор называется главным.

Дополнительный минор элемента матрицы [math]\displaystyle{ n }[/math]-го порядка есть определитель порядка [math]\displaystyle{ n-1 }[/math], соответствующий матрице, которая получается из матрицы путём вычёркивания [math]\displaystyle{ i }[/math]-й строки и [math]\displaystyle{ j }[/math]-го столбца. Например, для матрицы:

[math]\displaystyle{ M = \begin{pmatrix} \,\,\,1 & 4 & 7 \\ \,\,\,3 & 0 & 5 \\ -1 & 9 & \!11 \\ \end{pmatrix} }[/math]

дополнительный минор второго порядка [math]\displaystyle{ \bar M_2^3 }[/math] получается путём вычёркивания второй строки и третьего столбца:

[math]\displaystyle{ \begin{vmatrix} \,\,1 & 4 & \Box\, \\ \,\Box & \Box & \Box\, \\ -1 & 9 & \Box\, \\ \end{vmatrix} }[/math] [math]\displaystyle{ \longrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \begin{vmatrix} \,\,\,1 & 4\, \\ -1 & 9\, \\ \end{vmatrix} = 1\cdot 9-4\cdot(-1) = 13 }[/math]

Определитель [math]\displaystyle{ n\times n }[/math]-матрицы [math]\displaystyle{ M = (a_{ij}) }[/math] может быть определён через дополнительные миноры к элементам:

[math]\displaystyle{ |M|=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1 }[/math],

где [math]\displaystyle{ \bar M_j^1 }[/math] — дополнительный минор к элементу [math]\displaystyle{ \ a_{1j} }[/math].

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Литература

• Минор — статья из Математической энциклопедии. В. Н. Ремесленников