Метрическое пространство

Не следует путать с метрическим тензором — квадратичной формой, которая задает скалярное произведение.

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором между любой парой элементов определено расстояние.

Определения

Метрическое пространство есть пара [math]\displaystyle{ (X,\;d) }[/math], где [math]\displaystyle{ X }[/math] — множество, а [math]\displaystyle{ d }[/math] — числовая функция, которая определена на декартовом произведении [math]\displaystyle{ X\times X }[/math], принимает значения в множестве неотрицательных вещественных чисел, и такова, что

1. [math]\displaystyle{ d(x,y)=0\iff x=y }[/math] (аксиома тождества).
2. [math]\displaystyle{ d(x,y)=d(y,x) }[/math] (аксиома симметрии).
3. [math]\displaystyle{ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z) }[/math] (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

При этом

• множество [math]\displaystyle{ X }[/math] называется подлежащим множеством метрического пространства.
• элементы множества [math]\displaystyle{ X }[/math] называются точками метрического пространства.
• функция [math]\displaystyle{ d }[/math] называется метрикой.

Замечания

• Из аксиом следует неотрицательность функции расстояния, поскольку

  [math]\displaystyle{ 0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2\cdot d(x,y) }[/math].

• Если неравенство треугольника представить в виде

  [math]\displaystyle{ d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math] и [math]\displaystyle{ z }[/math],

тогда из аксиомы тождества и неравенства треугольника следует аксиома симметрии.

• Эти условия выражают интуитивные понятия о концепции расстояния и поэтому называются аксиомами расстояния. Например, что расстояние между различными точками положительно и расстояние от [math]\displaystyle{ x }[/math] до [math]\displaystyle{ y }[/math] то же самое, что и расстояние от [math]\displaystyle{ y }[/math] до [math]\displaystyle{ x }[/math]. Неравенство треугольника означает, что расстояние от [math]\displaystyle{ x }[/math] до [math]\displaystyle{ z }[/math] через [math]\displaystyle{ y }[/math] не меньше, чем прямо от [math]\displaystyle{ x }[/math] до [math]\displaystyle{ z }[/math].

Обозначения

Обычно расстояние между точками [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] в метрическом пространстве [math]\displaystyle{ M }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ d(x,y) }[/math] или [math]\displaystyle{ \rho(x,y) }[/math].

• В метрической геометрии принято обозначение [math]\displaystyle{ |xy| }[/math] или [math]\displaystyle{ |xy|_M }[/math], если необходимо подчеркнуть, что речь идёт о [math]\displaystyle{ M }[/math]. Также употребляются обозначения [math]\displaystyle{ |x-y| }[/math] и [math]\displaystyle{ |x-y|_M }[/math] (несмотря на то, что выражение [math]\displaystyle{ x-y }[/math] для точек [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] не имеет смысла).
• В классической геометрии приняты обозначения [math]\displaystyle{ XY }[/math] или [math]\displaystyle{ |XY| }[/math] (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Связанные определения

• Биекция между различными метрическими пространствами [math]\displaystyle{ (X,d_X) }[/math] и [math]\displaystyle{ (Y,d_Y) }[/math], сохраняющая расстояния, называется изометрией;
  • В этом случае пространства [math]\displaystyle{ (X,d_X) }[/math] и [math]\displaystyle{ (Y,d_Y) }[/math] называются изометричными.
• Если [math]\displaystyle{ x_{n} \in X }[/math], [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] и [math]\displaystyle{ d(x_{n}, x) \to 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math], то говорят, что [math]\displaystyle{ x_{n} }[/math] сходится к [math]\displaystyle{ x }[/math]: [math]\displaystyle{ x_{n} \to x }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ M }[/math] подмножество множества [math]\displaystyle{ X }[/math], то, рассматривая сужение [math]\displaystyle{ d_M=d_X|_M }[/math] метрики [math]\displaystyle{ d_X }[/math] на множество [math]\displaystyle{ M }[/math], можно получить метрическое пространство [math]\displaystyle{ (M,d_M) }[/math], которое называется подпространством пространства [math]\displaystyle{ (X,d) }[/math].
• Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

• Метрика [math]\displaystyle{ d }[/math] на [math]\displaystyle{ M }[/math] называется внутренней, если любые две точки [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] в [math]\displaystyle{ M }[/math] можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к [math]\displaystyle{ d(x,y) }[/math].
  • Пространство называется геодезическим если любые две точки [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] в [math]\displaystyle{ M }[/math] можно соединить кривой с длиной, равной [math]\displaystyle{ d(x,y) }[/math].
• Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:

[math]\displaystyle{ B(x;r)=\{y\in M\mid d(x,y)\lt r\}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ x }[/math] есть точка в [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ r }[/math] — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество [math]\displaystyle{ O }[/math] является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.

• Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
• Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
• Расстояние [math]\displaystyle{ d(x,S) }[/math] от точки [math]\displaystyle{ x }[/math] до подмножества [math]\displaystyle{ S }[/math] в [math]\displaystyle{ M }[/math] определяется по формуле:

[math]\displaystyle{ d(x,S)=\inf\{d(x,s)\mid s\in S\} }[/math].

Тогда [math]\displaystyle{ d(x,S)=0 }[/math], только если [math]\displaystyle{ x }[/math] принадлежит замыканию [math]\displaystyle{ S }[/math].

Примеры

• Дискретная метрика: [math]\displaystyle{ d(x,y)=0 }[/math], если [math]\displaystyle{ x=y }[/math], и [math]\displaystyle{ d(x,y)=1 }[/math] во всех остальных случаях.
• Вещественные числа с функцией расстояния [math]\displaystyle{ d(x,\;y)=|y-x| }[/math] и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.
• Расстояние городских кварталов: [math]\displaystyle{ d(\mathbf p,\mathbf q)=\|\mathbf p-\mathbf q\|=\sum_{i=1}^n|p_i-q_i| }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathbf{p}=(p_1,p_2,\dots,p_n) }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf q=(q_1,q_2,\dots,q_n) }[/math] — векторы.
• Пусть [math]\displaystyle{ F(X,Y) }[/math] — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] в метрическое пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Расстояние между двумя отображениями [math]\displaystyle{ f_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ f_2 }[/math] из этого пространства определяется как

  [math]\displaystyle{ d_F(f_1,f_2)=\sup\{d_Y(f_1(x),f_2(x))\colon x\in X\} }[/math].

Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math].

В частном случае, когда [math]\displaystyle{ X }[/math] — компактное пространство, [math]\displaystyle{ Y }[/math] — числовая прямая, получается пространство [math]\displaystyle{ C(X) }[/math] всех непрерывных функций на пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math] с метрикой равномерной сходимости.

• Пусть [math]\displaystyle{ L([a,b]) }[/math], [math]\displaystyle{ R([a,b]) }[/math], [math]\displaystyle{ C([a,b]) }[/math] — пространства функций на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:

  [math]\displaystyle{ d(f_1,f_2)=\int\limits_a^b|f_1(x)-f_2(x)|\,dx. }[/math]

Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

• В пространстве [math]\displaystyle{ k }[/math] раз непрерывно дифференцируемых функций [math]\displaystyle{ C^k([a,b]) }[/math] метрика вводится по формуле:

  [math]\displaystyle{ d_k(f_1,f_2)=\max\{d_0(f_1,f_2),\;d_0(f'_1,f'_2),\;\ldots,\;d_0(f^{(k)}_1,f^{(k)}_2)\} }[/math],

где [math]\displaystyle{ d_0 }[/math] — метрика равномерной сходимости на [math]\displaystyle{ C([a,b]) }[/math] (см. выше).

• Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния

  [math]\displaystyle{ d(x,y)=\|y-x\| }[/math].

  • Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского;
  • В случае размерности, равной двум — плоскостью Минковского.

• Если [math]\displaystyle{ (p_n)_{n\in N} }[/math] является последовательностью полунорм, определяющих (локально выпуклое) топологическое векторное пространство [math]\displaystyle{ E }[/math], то

[math]\displaystyle{ d(x,y)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^n}\frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)} }[/math]

является метрикой, определяющей ту же топологию. (Можно заменить [math]\displaystyle{ \frac1{2^n} }[/math] на любую суммируемую последовательность [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] строго положительных чисел.)

• Любое связное риманово многообразие [math]\displaystyle{ M }[/math] можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

• Множество вершин любого связного графа [math]\displaystyle{ G }[/math] можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому ребру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
  • Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика, которую нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
• Расстояние редактирования графа определяет функцию расстояния между графами.

• Расстояние Хэмминга в теории кодирования.
• Строковые метрики, такие как расстояние Левенштейна и другие расстояния редактирования текста определяют расстояние над строками.

• Множество компактных подмножеств [math]\displaystyle{ K(M) }[/math] любого метрического пространства [math]\displaystyle{ M }[/math] можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

[math]\displaystyle{ D(X,Y)=\inf\left\{r \; \left| \; \begin{matrix} \forall x\in X\;\exist y\in Y\colon d(x,y)\lt r\\\forall y\in Y\;\exists x\in X\colon d(x,y)\lt r \end{matrix} \right. \right\} }[/math].

• Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.
• Метрика Васерштейна определяет расстояние между двумя распределениями вероятностей.

Конструкции

• Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:
  1. [math]\displaystyle{ d_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2); }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ d_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{d_X(x_1,x_2)^2+d_Y(y_1,y_2)^2}; }[/math]
  3. [math]\displaystyle{ d_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max\{d_X(x_1,x_2),d_Y(y_1,y_2)\}. }[/math]

Эти метрики эквивалентны друг другу.

Свойства

• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
• Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
  • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
  • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).
• метрические пространства с короткие отображениями образуют категорию, обычно обозначаемую Met.

Вариации и обобщения

• Для данного множества [math]\displaystyle{ M }[/math], функция [math]\displaystyle{ d\colon M\times M\to\R }[/math] называется псевдометрикой или полуметрикой на [math]\displaystyle{ M }[/math] если для любых точек [math]\displaystyle{ x,\;y,\;z }[/math] из [math]\displaystyle{ M }[/math] она удовлетворяет следующим условиям:
  1. [math]\displaystyle{ d(x,x)=0 }[/math];
  2. [math]\displaystyle{ d(x,y)=d(y,x) }[/math] (симметрия);
  3. [math]\displaystyle{ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z) }[/math] (неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в [math]\displaystyle{ M }[/math] могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве [math]\displaystyle{ M/{\sim} }[/math], где [math]\displaystyle{ x\sim y\iff d(x,y)=0 }[/math].

• Для данного множества [math]\displaystyle{ M }[/math] функция [math]\displaystyle{ d\colon M\times M\to\R }[/math] называется квазиметрикой, если для любых точек [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math], [math]\displaystyle{ z }[/math] из [math]\displaystyle{ M }[/math] она удовлетворяет следующим условиям:
  1. [math]\displaystyle{ d(x,x)=0 }[/math];
  2. [math]\displaystyle{ d(x,y)\leqslant c\cdot d(y,x) }[/math] (квазисимметрия);
  3. [math]\displaystyle{ d(x,z)\leqslant c\cdot (d(x,y)+d(y,z)) }[/math] (обобщённое неравенство треугольника).
• Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

  Для всех [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math] и [math]\displaystyle{ z }[/math] в [math]\displaystyle{ M }[/math] [math]\displaystyle{ d(x,z)\leqslant\max(d(x,y),d(y,z)) }[/math].

• Иногда удобно рассматривать [math]\displaystyle{ \infty }[/math]-метрики, то есть метрики со значениями [math]\displaystyle{ [0;\infty] }[/math]. Для любой [math]\displaystyle{ \infty }[/math]-метрики можно построить конечную метрику, которая определяет ту же топологию. Например,

  [math]\displaystyle{ d'(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} }[/math] или [math]\displaystyle{ d''(x,y)=\min{(1,d(x,y))}. }[/math]

Также, для любой точки [math]\displaystyle{ x }[/math] такого пространства, множество точек, находящихся от неё на конечном расстоянии, образует обычное метрическое пространство, называемое метрической компонентой [math]\displaystyle{ x }[/math]. В частности, любое пространство с [math]\displaystyle{ \infty }[/math]-метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным [math]\displaystyle{ \infty }[/math].

• Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам для метрики за возможным исключением симметрии. Название этого обобщения не вполне устоялось. В своей книге Смит называет их «полуметриками». Тот же термин используется часто также для двух других обобщений метрик.
  1. [math]\displaystyle{ d(x,y)\geqslant0 }[/math] (положительность)
  2. [math]\displaystyle{ d(x,y)=0\iff x=y }[/math] (положительная определённость)
  3. d(x, y)=d(y, x) (симметрия вычеркнута)
  4. [math]\displaystyle{ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z) }[/math] (неравенство треугольника)

Примеры квазиметрики встречаются в реальной жизни. Например, если дано множество [math]\displaystyle{ X }[/math] горных сёл, время прогулки между элементами [math]\displaystyle{ X }[/math] образует квазиметрику, поскольку восхождение вверх занимает больше времени, чем спуск вниз. Другим примером является топология городских кварталов, имеющих улицы с односторонним движением, когда путь из точки [math]\displaystyle{ A }[/math] в точку [math]\displaystyle{ B }[/math] состоит из различного набора улиц по сравнению с путём из [math]\displaystyle{ B }[/math] в [math]\displaystyle{ A }[/math].

• В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомами для метаметрики являются:
  1. [math]\displaystyle{ d(x,y)\geqslant0 }[/math]
  2. из [math]\displaystyle{ d(x,y)=0 }[/math] следует [math]\displaystyle{ x=y }[/math] (но не наоборот.)
  3. [math]\displaystyle{ d(x,y)=d(y,x) }[/math]
  4. [math]\displaystyle{ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z) }[/math].

Метаметрики появляются при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика на таком пространстве удовлетворяет равенству [math]\displaystyle{ d(x,x)=0 }[/math] для точек [math]\displaystyle{ x }[/math] на границе, но в противном случае [math]\displaystyle{ d(x,x) }[/math] примерно равно расстоянию от [math]\displaystyle{ x }[/math] до границы. Метаметрики первым определил Юсси Вяйсяля.

• Ослабление последних трёх аксиом ведёт к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей условиям:
  1. [math]\displaystyle{ d(x,y)\geqslant0 }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ d(x,x)=0 }[/math]

Термин не устоялся, иногда он используется для обобщения других метрик, таких как псевдополуметрики или псевдометрики. В русскоязычной литературе (и в переводах с русского) этот термин иногда появляется как «праметрика».

Любая преметрика приводит к топологии следующим образом. Для положительного вещественного [math]\displaystyle{ r }[/math] определяется [math]\displaystyle{ r }[/math]-шар с центром в точке [math]\displaystyle{ p }[/math] как

[math]\displaystyle{ B_r(p)=\{x\mid d(x,p)\lt r\} }[/math]. Множество называется открытым, если для любой точки [math]\displaystyle{ p }[/math] в множестве существует [math]\displaystyle{ r }[/math]-шар с центром в [math]\displaystyle{ p }[/math], который содержится в множестве. Любое преметрическое пространство является топологическим пространством и, фактически, секвенциальным пространством. В общем случае сами [math]\displaystyle{ r }[/math]-шары не обязаны быть открытыми множествами согласно этой топологии. Как и для метрик, расстояние между двумя множествами [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] определяется как

[math]\displaystyle{ d(A,B)=\inf_{x\in A,\;y\in B}d(x,y) }[/math].

Это определяет преметрику на булеане преметрического пространства. Если мы начинаем с (псевдополу-)метрического пространства, мы получим псевдополуметрику, то есть, симметричную преметрику. Любая преметрика приводит к оператору предзамыкания [math]\displaystyle{ \operatorname{cl} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \operatorname{cl}(A)=\{x\mid d(x,A)=0\} }[/math].

• Префиксы псевдо-, квази- и полу- могут комбинироваться, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии, и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые [math]\displaystyle{ r }[/math]-шары образуют базис открытых множеств. Простейшим примером псевдоквазиметрического пространства служит множество [math]\displaystyle{ \{0,1\} }[/math] с преметрикой, задаваемой функцией [math]\displaystyle{ d }[/math], такой что [math]\displaystyle{ d(0,1)=1 }[/math] и [math]\displaystyle{ d(1,0)=0 }[/math]. Ассоциированное топологическое пространство является пространством Серпинского.

Множества, оснащённые расширенной псевдоквазиметрикой, изучал Уильям Ловер как «обобщённые метрические пространства». С категорной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с их соответствующими нерасширяющимися отображениями лучше всего ведут себя на категориях метрических пространств. Можно взять произвольные произведения и копроизведения и образовать фактор-объект с данной категорией. Если опустить слово «расширенная», можно взять только конечные произведения и копроизведения. Если опустить «псевдо», нельзя будет получить фактор-объекты. Пространства подходов являются обобщением метрических пространств, учитывающим эти хорошие категориальные свойства.

• Линейное пространство [math]\displaystyle{ V(F) }[/math] называется линейным метрическим пространством, если в нём задано расстояние между его элементами и алгебраические операции непрерывны в его метрике, т. е.:
  1. [math]\displaystyle{ x_{n} \to x, y_{n} \to y \Rightarrow x_{n} + y_{n} \to x + y }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ x_{n} \to x, \lambda_{n} \to \lambda \Rightarrow \lambda_{n} x_{n} \to \lambda x }[/math]
  • Пример: Линейное пространство всех комплексных последовательностей можно превратить в линейное метрическое пространство при помощи введения расстояния между его элементами с помощью формулы:

    [math]\displaystyle{ d(x, y) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^{i}}\frac{|x_{i} - y_{i}|}{1+ |x_{i} - y_{i}|} }[/math]

• Гиперметрическое пространство — метрическое пространство в котором выполнены гиперметрические неравенства. То есть,

  [math]\displaystyle{ \sum_{i\lt j}b_i\cdot b_j\cdot |x_i-x_j|\le 0 }[/math]

для любых точек [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n }[/math] и целых чисел [math]\displaystyle{ b_1,\dots,b_n }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ \sum b_i=1 }[/math].

• Заметим, что при [math]\displaystyle{ b_1=b_2=1 }[/math] и [math]\displaystyle{ b_3=-1 }[/math], гиперметрическое неравенство преврящается в обычное неравенство треугольника

[math]\displaystyle{ |x_1-x_2|-|x_1-x_3|-|x_2-x_3|\le 0. }[/math]

• Пример гиперметрического пространства: [math]\displaystyle{ \ell_1 }[/math]-пространство.

История

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства в связи с рассмотрением функциональных пространств.

Литература

• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.
• Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1990. — № 1.
• Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1970. — № 10.
• Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» Архивная копия от 12 января 2014 на Wayback Machine. — 2001. — Выпуск 9.
• Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по математике». — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.
• Lawvere, F. William (2002), Metric spaces, generalized logic, and closed categories, Reprints in Theory and Applications of Categories (no. 1): 1–37, <http://tac.mta.ca/tac/reprints/articles/1/tr1.pdf> ; reprinted with added commentary from Lawvere, F. William (1973), Metric spaces, generalized logic, and closed categories, Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano Т. 43: 135–166 (1974), DOI 10.1007/BF02924844 
• Ruben Aldrovandi, J. G. Pereira. An introduction to geometrical physics : [англ.]. — Singapore : World Scientific, 1995. — 699 с. — ISBN 9810222327. — ISBN 9789810222321.
• Rolewicz, Stefan (1987), Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems, Springer, ISBN 90-277-2186-6 
• Smyth, M. (1987), Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces, in Main, M.; Melton, A. & Mislove, M. et al., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, vol. 298, Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, с. 236–253, DOI 10.1007/3-540-19020-1_12 
• Steen, Lynn Arthur & Seebach, J. Arthur Jr. (1995), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 978-0-486-68735-3 
• Väisälä, Jussi (2005), Gromov hyperbolic spaces, Expositiones Mathematicae Т. 23 (3): 187–231, doi:10.1016/j.exmath.2005.01.010, <http://www.helsinki.fi/~jvaisala/grobok.pdf> 
• Vickers, Steven (2005), Localic completion of generalized metric spaces, I, Theory and Applications of Categories Т. 14 (15): 328–356, <https://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14/15/14-15abs.html>  Архивная копия от 26 апреля 2021 на Wayback Machine
• Архангельский А. В., Федорчук В. В. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 17. — ВИНИТИ, 1988. — 232 с.
• Булдыгин В. В., Козаченко Ю. В. Метрические характеристики случайных величин и процессов. — К. : ТВіМС, 1998. — 290 с.
• Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу (рус.). — Москва: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8.

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Metric space, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Far and near — several examples of distance functions at cut-the-knot.