Метод трапеций

Аппроксимация функции линейной зависимостью при интегрировании методом трапеций

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Если отрезок [math]\displaystyle{ \left[ a, b \right] }[/math] является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

[math]\displaystyle{ \int^b_a f(x)\,dx = \frac{ f(a) + f(b) }{2} (b - a) + E(f), \qquad E(f) = - \frac{f''(\xi)}{12} \left( b-a \right)^3. }[/math]

Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации для элементарного отрезка можно оценить через максимум второй производной

[math]\displaystyle{ \left| E(f) \right| \leqslant \frac{\left( b-a \right)^3}{12} \max_{x \in [a, b]} \left| f''(x) \right| }[/math]

(для случаев разбиения отрезка на n частей см. составные формулы ниже).

Составная формула

Применение составной формулы трапеций

Если отрезок [math]\displaystyle{ \left[ a, b \right] }[/math] разбивается узлами интегрирования [math]\displaystyle{ x_i }[/math], [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots, n }[/math], так что [math]\displaystyle{ x_{0} = a }[/math] и [math]\displaystyle{ x_{n} = b }[/math], и на каждом из элементарных отрезков [math]\displaystyle{ [x_i,x_{i+1}] }[/math] применяется формула трапеций, то суммирование даст составную формулу трапеций

[math]\displaystyle{ \int^b_a f(x)\,dx \approx \sum_{i=0}^{n-1} \frac{ f(x_i) + f(x_{i+1}) }{2} (x_{i+1} - x_{i}) = }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{f(a)}{2} (x_1 - a) + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n-1} {f(x_i)} (x_{i+1} - x_{i-1}) + \frac{f(b)}{2} (b - x_{n-1}). }[/math]

Формула Котеса

Применение формулы трапеций для равномерной сетки

В случае равномерной сетки [math]\displaystyle{ x_{j} = a+jh }[/math], где [math]\displaystyle{ h = (b-a)/n }[/math] — шаг сетки, составная формула трапеций упрощается:

[math]\displaystyle{ \int^b_a f(x)\,dx = h \left( \frac{f_0 + f_n}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f_i \right) + E_n(f), }[/math]

причём для погрешности справедлива оценка

[math]\displaystyle{ E_n(f) = - \frac{f''(\xi)}{12} (b - a) h^2. }[/math]

Свойства

Метод трапеций быстро сходится для осциллирующих функций, поскольку погрешность за период аннулируется.
Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.

См. также

Литература

Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — 2. — Физ-Мат. Лит., 1963. — С. 659.