Материальная точка

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Материа́льная то́чка (материа́льная части́ца, то́чечная ма́сса) — обладающее массой тело, размерами, формой, вращением и внутренней структурой которого можно пренебречь в условиях исследуемой задачи. Является простейшей физической моделью в механике. Положение материальной точки в пространстве определяется как положение геометрической точки[1][2] и задаётся радиус-вектором [math]\displaystyle{ \mathbf r }[/math].

В классической механике масса материальной точки полагается постоянной во времени и не зависящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами[3][4][5][6].

При аксиоматическом подходе к построению классической механики в качестве одной из аксиом принимается[7]: «Материальная точка — геометрическая точка, которой поставлен в соответствие скаляр, называемый массой: [math]\displaystyle{ (\mathbf r, m) }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf r }[/math] — вектор в евклидовом пространстве, отнесённом к какой-либо декартовой системе координат. Масса полагается постоянной, не зависящей ни от положения точки в пространстве, ни от времени».

Если тело участвует только в прямолинейном движении, то для определения его положения достаточно одной координатной оси.

Использование

Модель материальной точки используется (нередко неявно) в большом числе учебных и практических задач. Среди таковых — упражнения на нахождение параметров движения автомобилей из пункта А в пункт B, анализ траектории брошенного под углом к горизонту камня, рассмотрение соударения материальных частиц, изучение поведения тел в центральном гравитационном или электростатическом поле.

В курсах механики выделяются специальные разделы «кинематика точки» и «динамика точки»[8].

Особенности

Применимость модели материальной точки к конкретному телу зависит не столько от размеров самого тела, сколько от условий его движения и характера решаемой задачи. Скажем, при описании движения Земли вокруг Солнца она вполне может рассматриваться как материальная точка, а при анализе суточного вращения Земли использование такой модели недопустимо.

Важным случаем применения модели является ситуация, когда собственные размеры тел значительно меньше иных фигурирующих в задаче размеров. Так, выражение для силы гравитационного притяжения двух объёмных объектов любых форм с увеличением расстояния между этими объектами всегда переходит в известный закон взаимодействия точечных масс[9].

В соответствии с теоремой о движении центра масс системы, при поступательном движении любое твёрдое тело можно считать материальной точкой, положение которой совпадает с центром масс тела.

Масса, положение, скорость и некоторые другие физические свойства[10] материальной точки в каждый конкретный момент времени полностью определяют её поведение.

Следствия

Механическая энергия может быть запасена материальной точкой лишь в виде кинетической энергии её движения в пространстве и (или) потенциальной энергии взаимодействия с полем. Это автоматически означает неспособность материальной точки к деформациям (материальной точкой может быть названо лишь абсолютно твёрдое тело) и вращению вокруг собственной оси и изменениям направления этой оси в пространстве. Вместе с этим модель, описывающая движение тела как движение материальной точки, при котором изменяются её расстояние от некоторого мгновенного центра поворота и два угла Эйлера (задающие направление линии «центр — точка»), чрезвычайно широко используется во многих разделах механики.

Плотность [кг/м3] для материальной точки, положение которой задано радиус-вектором [math]\displaystyle{ \,\vec{r}_0 = x_0\vec{i} + y_0\vec{j} + z_0\vec{k}\, }[/math] ([math]\displaystyle{ \vec{i} }[/math], [math]\displaystyle{ \vec{j} }[/math], [math]\displaystyle{ \vec{k} }[/math] — орты), можно записать[11] как [math]\displaystyle{ \rho(\vec{r}) = m\cdot\delta(\vec{r}-\vec{r}_0) = m\cdot\delta(x-x_0)\delta(y-y_0)\delta(z-z_0) }[/math]. Здесь [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math], [math]\displaystyle{ z }[/math] — декартовы координаты, а [math]\displaystyle{ \delta }[/math] — дельта-функция (одномерная если её аргументом выступает разность координат, или трёхмерная если радиус-векторов); при этом интеграл по всему пространству [math]\displaystyle{ \int\rho(\vec{r})dV }[/math] равен массе точки [math]\displaystyle{ m }[/math]. Плотность бесконечна в месте нахождения точки и равна нулю в остальном пространстве.

Свободные/несвободные точки

Материальная точка, движение которой в пространстве не ограничено какими-либо механическими связями, называется свободной. Примерами свободных материальных точек являются искусственный спутник Земли на околоземной орбите и летящий самолет (если пренебречь их вращениями).

Материальная точка, свобода перемещения которой ограничена наложенными связями, называется несвободной. Примером несвободной материальной точки является движущийся по рельсам трамвай (если пренебречь его формой и размерами).

Ограничения

Ограниченность сферы применения понятия о материальной точке видна из такого примера: в разреженном газе при высокой температуре размер каждой молекулы очень мал по сравнению с типичным расстоянием между молекулами. Казалось бы, им можно пренебречь и считать молекулу материальной точкой. Однако это не всегда так: колебания и вращения молекулы — важный резервуар «внутренней энергии» молекулы, «ёмкость» которого определяется размерами молекулы, её структурой и химическими свойствами. В хорошем приближении как материальную точку можно иногда рассматривать одноатомную молекулу (инертные газы, пары́ металлов и др.), но даже у таких молекул при достаточно высокой температуре наблюдается возбуждение электронных оболочек за счёт соударений молекул, с последующим высвечиванием.

Примечания

  1. ↑ Материальная точка Архивная копия от 28 марта 2013 на Wayback Machine — Статья в Физической энциклопедии.
  2. ↑ Курс физики. Трофимова Т. И. М.: Высш. шк., 2001, изд. 7-е.
  3. ↑ «Дополнительной характеристикой (по сравнению с геометрическими характеристиками) материальной точки является скалярная величина m — масса материальной точки, которая, вообще говоря, может быть как постоянной, так и переменной величиной. ... В классической ньютоновской механике материальная точка обычно моделируется геометрической точкой с присущей ей постоянной массой) являющейся мерой её инерции.» с. 137 Седов Л. И., Цыпкин А. Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. М: Наука, 1989.
  4. ↑ Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: ЧеРО, 1999. — С. 87. — 572 с. «Масса материальной точки считается постоянной величиной, не зависящей от обстоятельств движения».
  5. ↑ Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики. — М.: МГУ, 2000. — С. 160. — 720 с. — ISBN 5-211-04244-1. «Аксиома 3.3.1. Масса материальной точки сохраняет своё значение не только во времени, но и при любых взаимодействиях материальной точки с другими материальными точками независимо от их числа и от природы взаимодействий».
  6. ↑ Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 287. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9. «В классической механике масса каждой точки или частицы системы считается при движении величиной постоянной».
  7. ↑ Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики. — М.: Физматлит, 2008. — С. 9. — 304 с. — ISBN 978-5-9221-0907-9.
  8. ↑ См., напр., аннотацию Архивная копия от 19 декабря 2021 на Wayback Machine книги А. Н. Матвеев: «Механика и теория относительности», М., Высшая школа (1986).
  9. ↑ И. Е. Иродов. Задачи по общей физике. М.: «Наука» (1979). — см. стр. 6: несколько советов по решению задач. Дата обращения: 25 декабря 2021. Архивировано 25 декабря 2021 года.
  10. ↑ Материальная точка также может иметь заряд (подробнее см. Электродинамика).
  11. ↑ Дельта-функция. Инфосайт Химфака МГУ. — см. разд. «Физический смысл дельта-функции». Дата обращения: 17 августа 2022.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Материальная_точка&oldid=7070966