Магнитная гидродинамика

Магнитная гидродинамика — физическая дисциплина, возникшая на пересечении гидродинамики и электродинамики сплошной среды. Предметом её изучения является динамика проводящей жидкости или газа в магнитном поле. Примерами изучаемых сред являются различного рода плазма, жидкие металлы, солёная вода.

Один из основоположников магнитной гидродинамики в СССР, академик Латвийской АН Я.Лиелпетер называл свою дисциплину наукой о взаимодействии магнитного поля с токопроводящей средой. К таким средам он относил не только жидкие металлы, электролиты (такие, как морская вода), ионизированный газ, но и биологические жидкости, в том числе плазму крови.

Пионером исследований в области теории магнитогидродинамики признан Ханнес Альфвен, удостоившийся за свои работы Нобелевской премии в 1970 году. Первой экспериментальной работой в этой области стало исследование Гартманом в 1937 году сопротивления течения ртути в трубке при воздействии поперечного магнитного поля.

Уравнения магнитной гидродинамики

Полная система уравнений нерелятивистской магнитной гидродинамики проводящей жидкости имеет вид:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \displaystyle\rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] + \eta \Delta \vec v + \left(\frac 13 \eta + \zeta\right)\displaystyle\nabla \operatorname{div}\vec v \\ \displaystyle p=p(\rho) \\ \displaystyle\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \\ \displaystyle\frac{\partial \vec H}{\partial t} = - \frac {1}{\sigma} \frac{c^2}{4\pi} \operatorname{rot} \left[\nabla \times \vec H\right] + \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \\ \displaystyle\nabla \cdot \vec H = 0 \end{cases} }[/math]

Здесь:

• [math]\displaystyle{ p }[/math] — давление в среде;
• [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — плотность среды;
• [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] — проводимость среды;
• [math]\displaystyle{ \eta }[/math] — сдвиговая вязкость среды;
• [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] — объёмная вязкость среды;
• [math]\displaystyle{ \vec v }[/math] — поле скоростей;
• [math]\displaystyle{ \vec H }[/math] — напряжённость магнитного поля.

Эта система содержит 8 уравнений и позволяет определить 8 неизвестных ([math]\displaystyle{ p }[/math], [math]\displaystyle{ \rho }[/math], [math]\displaystyle{ \vec H }[/math], [math]\displaystyle{ \vec v }[/math]) при заданных начальных и граничных условиях.

Если воспользоваться следующими приближениями (бездиссипативный предел):

1. [math]\displaystyle{ \sigma \to \infty ; }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \eta = 0 ; }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \zeta =0 , }[/math]

то система уравнений МГД запишется в более простом виде:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \displaystyle\rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] \\ \displaystyle p=p(\rho) \\ \displaystyle\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \\ \displaystyle\frac{\partial \vec H}{\partial t} = \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \\ \displaystyle\nabla \cdot \vec H = 0 \end{cases} }[/math]

Вывод уравнений

Вывод уравнений МГД из уравнений Максвелла и гидродинамики

Запишем систему уравнений Максвелла в системе СГС:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \displaystyle\nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\ \displaystyle\nabla \times \vec H = \frac 1c \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \frac {4 \pi}{c} \vec j\\ \displaystyle\nabla \cdot \vec H = 0\\ \displaystyle\nabla \cdot \vec E = 0 \end{cases} }[/math]

Будем исходить из следующих предположений:

1. магнитная проницаемость равна единице: [math]\displaystyle{ \mu=1 ; }[/math]
2. нет электрических зарядов: [math]\displaystyle{ \rho = 0 ; }[/math]
3. закон Ома имеет вид: [math]\displaystyle{ \vec j = \sigma \vec E + \frac {\sigma}{c} \vec v \times \vec H . }[/math]

Ограничимся нерелятивистским случаем ([math]\displaystyle{ v \ll c }[/math]), то есть [math]\displaystyle{ \left| \nabla \times \vec H \right| \gg \left| \frac 1c \frac{\partial \vec E}{\partial t} \right| . }[/math]

Обоснование нерелятивистского приближения.

Покажем, что [math]\displaystyle{ v \ll c }[/math] эквивалентно [math]\displaystyle{ \left| \nabla \times \vec H \right| \gg \left| \frac 1c \frac{\partial \vec E}{\partial t} \right| : }[/math]

[math]\displaystyle{ \left| \nabla \times \nabla \times \vec H \right| \gg \left| \frac 1c \nabla \times \frac{\partial \vec E}{\partial t} \right| = \frac{1}{c^2} \left| \frac{\partial^2 \vec H}{\partial t^2} \right| }[/math]

Оценим это выражение:

[math]\displaystyle{ \frac{H}{L^2} \gg \frac{1}{c^2}\frac{H}{\tau^2} , }[/math]

где:

• [math]\displaystyle{ L }[/math] — характерная длина;
• [math]\displaystyle{ \tau }[/math] — характерное время.

Это приводит нас к следующем соотношению:

[math]\displaystyle{ c^2 \gg \frac{L^2}{\tau^2} = v^2 ; }[/math]

[math]\displaystyle{ v \ll c . }[/math]

То есть характерная скорость в системе должна быть на много меньше скорости света.

Уравнения Максвелла в этом приближении запишутся следующим образом:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \displaystyle\nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\ \displaystyle\nabla \times \vec H = \frac {4 \pi}{c} \vec j\\ \end{cases} }[/math]

Выразив из закона Ома [math]\displaystyle{ \vec E }[/math] и подставив его в первое уравнение, получим:

[math]\displaystyle{ - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \nabla \times \left(\frac {1}{\sigma} \vec j - \frac 1c \vec v \times \vec H\right) . }[/math]

Подставив в это уравнение ток из второго уравнения Максвелла, получим:

[math]\displaystyle{ - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \frac {1}{\sigma} \frac{c}{4\pi} \nabla \times \left[\nabla \times \vec H\right] - \frac 1c \nabla \times \left[\vec v \times \vec H\right] . }[/math]

В пределе идеальной проводящей жидкости [math]\displaystyle{ \sigma \to \infty }[/math] получаем:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \nabla \times \left[\vec v \times \vec H\right] . }[/math]

Для связи с гидродинамикой в уравнение Навье — Стокса добавляется член, отвечающий за силу Ампера, действующую на токи со стороны магнитного поля (ток выражается из второго уравнения Максвелла через напряжённость магнитного поля):

[math]\displaystyle{ \vec f = \frac 1c \left[ \vec j \times \vec H \right] = - \frac{1}{4 \pi} \left[ \vec H\times \operatorname{rot}\vec H \right] . }[/math]

Научные исследования в СССР и постсоветских странах

Институт физики Академии наук Латвийской ССР являлся ведущей в Советском Союзе научной организацией по исследованию магнитной гидродинамики. В его лабораториях разработаны десятки изобретений и получены десятки патентов на технологические новшества, в том числе электромагнитный индукционный насос, конструкция МГД-дозатора для машин литья под давлением. В Риге было создано специальное СКБ МГД, издавался всесоюзный научно-технический журнал «Магнитная гидродинамика», проводились традиционные всесоюзные совещания. Руководил этой работой заместитель директора Института физики по науке, академик Я.Я. Лиелпетер, создатель научного направления магнитной гидродинамики в Латвийской ССР. Вместе с ним работали Иван Тютин, Игорь Кирко, Юрис Бирзвалк, Герман Брановер, Таливалдис Калныньш, Элмар Блум, Юрий Гельфгат, Эдуард Щербинин.

Латвийские учёные предложили гипотезу образования магнитного поля Земли, основанную на предположении, что внутри Земли находится жидкое токопроводящее ядро, в котором происходит термическая конвекция из-за неравномерного распределения температур. Этих процессов достаточно для самовозбуждения магнитного поля. Такая возможность в начале 1970-х годов была предварительно экспериментально доказана в Институте физики АН Латвийской ССР в ходе работ совместно с учёными ГДР.

Практически доказанная возможность самовозбуждения магнитных полей открыла возможности использования этого явления в технике: для разработки новых типов источников магнитных полей при помощи наведенных токов, создаваемых за счет кинетической энергии потока жидкого металла. Также возникла феррогидродинамика, рассматривающая среду, обладающую ферромагнитными свойствами (суспензии из ферромагнитного порошка с какой-либо жидкостью).

Лаборатория магнитно-гидродинамической гидравлики Института физики АН Латвии под руководством академика Ольгерта Лиелаусиса 11 ноября 1999 года впервые в мире провела успешный эксперимент, доказавший динамо-эффект в формировании магнитного поля Земли и Вселенной.

Прикладное значение

В промышленности

Принципы магнитной гидродинамики используются для дистанционного контроля и управления поведением жидких металлов в промышленности, в частности:

• в МГД-насосах;
• в МГД-генераторах.

В медицине

Изучение физических и химических свойств магнитных жидкостей, а также их реакции на воздействие электромагнитного поля в настоящее время является одним из приоритетных направлений научных исследований при разработке новых медицинских технологий. На смену ранее применявшимся для перекачки и циркуляции крови шланговым насосам перистальтического действия, в которых жидкость проталкивали вращающиеся ролики, с усилием прижимающие кровеносные шланги к внутренней цилиндрической поверхности и из-за этого травмировавшие форменные элементы, пришло использование упругих магнитожидкостных элементов для создания низконапорных клапанов и электрогидравлического насоса. При этом бегущее электромагнитное поле создаётся последовательным включением секций катушки индуктивности, управляемых микроконтроллерной системой. Такая система не только снижает травматику формообразующих элементов крови за счет замены трения скольжения в перекачивающем устройстве на трение качения, но и создает реологический эффект, увеличивая текучесть крови или другой биологической жидкости под воздействием магнитного поля.

См. также

• Альфвеновские волны
• Динамо-эффект
• Электрогидродинамика
• Электровихревое течение
• Электродинамика сплошных сред
• Геофизическая гидродинамика

Литература

• О. Лиелаусис, Ю. Гельфгат, Э. Щербинин. Жидкий металл под действием электромагнитных сил; Рига: Зинатне, 1976.
• Денисов В. И. «Введение в электродинамику материальных сред: Учебное пособие». — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — ISBN 5-211-01371-9.
• A.Gailitis, O.Lielausis, S.Dement’ev, et.al. Detection of a flow induced magnetic field eigenmode in the Riga Dynamo facility. — Phys.Rev.Lett., 2000, vol.84, pp.4365-4368.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — Издание 4-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2003. — 656 с. — («Теоретическая физика», том VIII). — ISBN 5-9221-0123-4.
• Котельников И. А. Лекции по физике плазмы. Том 2: Магнитная гидродинамика. — 3-е изд. — СПб.: Лань, 2021. — 446 с. — ISBN 978-5-8114-6933-8.

Ссылки

• Магнитная гидродинамика в энциклопедии «Кругосвет».
• Сайт журнала Института физики университета Латвии «Magnetohydrodynamics» (бывший журнал «Магнитная гидродинамика»).