Магнитное поле

Картина силовых линий магнитного поля, создаваемого постоянным магнитом в форме стержня. Железные опилки на листе бумаги.

Магни́тное по́ле — поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом, независимо от состояния их движения^[1]; магнитная составляющая электромагнитного поля^[2].

Магнитное поле может создаваться током заряженных частиц и/или магнитными моментами электронов в атомах (и магнитными моментами других частиц, что обычно проявляется в существенно меньшей степени) (постоянные магниты).

Кроме этого, оно возникает в результате изменения во времени электрического поля.

Основной количественной характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции [math]\displaystyle{ \mathbf{B} }[/math] (вектор индукции магнитного поля)^[3]. С математической точки зрения магнитное поле описывается векторным полем [math]\displaystyle{ \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,y,z) }[/math], заданным в каждой точке пространства.

Вместо магнитной индукции для описания магнитного поля можно использовать ещё одну фундаментальную величину, тесно с ней взаимосвязанную, — векторный потенциал.

Нередко в литературе в качестве основной характеристики магнитного поля в вакууме (то есть в отсутствие вещества) выбирают не вектор магнитной индукции [math]\displaystyle{ \mathbf{B}, }[/math] а вектор напряжённости магнитного поля [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math], что формально можно сделать, так как в вакууме эти два вектора совпадают^[4]; однако в магнитной среде вектор [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] не несёт уже того же физического смысла^[5], являясь важной, но всё же вспомогательной величиной. Поэтому, несмотря на формальную эквивалентность обоих подходов для вакуума, с систематической точки зрения следует считать основной характеристикой магнитного поля именно [math]\displaystyle{ \mathbf{B}. }[/math]

Магнитное поле можно назвать особым видом материи^[6], посредством которой осуществляется взаимодействие между движущимися заряженными частицами или телами, обладающими магнитным моментом.

В специальной теории относительности магнитные поля являются необходимым следствием существования электрических полей.

Вместе магнитное и электрическое поля образуют электромагнитное поле, проявлениями которого являются, в частности, свет и все другие электромагнитные волны.

С точки зрения квантовой теории поля магнитное взаимодействие — как частный случай электромагнитного взаимодействия — переносится фундаментальным безмассовым бозоном — фотоном (частицей, которую можно представить как квантовое возбуждение электромагнитного поля), часто (например, во всех случаях статических полей) — виртуальным.

Электрический ток (I), проходя по проводнику, создаёт вокруг него магнитное поле (B)

Источники магнитного поля

Магнитное поле создаётся (порождается) током заряженных частиц, или изменяющимся во времени электрическим полем, или собственными магнитными моментами частиц (последние для единообразия картины могут быть формальным образом сведены к электрическим токам).

Вычисление

В простых случаях магнитное поле проводника с током (в том числе и для случая тока, распределённого произвольным образом по объёму) может быть найдено из закона Био — Савара — Лапласа или теоремы о циркуляции. Этот способ ограничивается случаем (приближением) магнитостатики, то есть случаем постоянных (если речь идёт о строгой применимости) или достаточно медленно меняющихся (если речь идёт о приближенном применении) магнитных и электрических полей.

В более сложных ситуациях ищется как решение уравнений Максвелла.

Проявление магнитного поля

Магнитное поле проявляется в воздействии на магнитные моменты частиц и тел, на движущиеся заряженные частицы (или проводники с током). Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле электрически заряженную частицу, называется силой Лоренца, которая всегда направлена перпендикулярно к векторам v и B^[3]. Она пропорциональна заряду частицы q, составляющей скорости v, перпендикулярной направлению вектора магнитного поля B, и величине индукции магнитного поля B. В Международной системе единиц (СИ) сила Лоренца выражается так:

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}=q[\mathbf{v},\mathbf{B}] }[/math],

в системе единиц СГС:

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}=\frac{q}{c}[\mathbf{v},\mathbf{B}] }[/math],

где квадратными скобками обозначено векторное произведение.

Также (вследствие действия силы Лоренца на движущиеся по проводнику заряженные частицы) магнитное поле действует на проводник с током. Сила, действующая на проводник с током называется силой Ампера. Эта сила складывается из сил, действующих на отдельные движущиеся внутри проводника заряды.

Взаимодействие двух магнитов

Одно из наиболее часто встречающихся в обычной жизни проявлений магнитного поля — взаимодействие двух магнитов: одинаковые полюса отталкиваются, противоположные притягиваются. Представляется заманчивым описать взаимодействие между магнитами как взаимодействие между двумя монополями, и с формальной точки зрения эта идея вполне реализуема и часто весьма удобна, а значит практически полезна (в расчётах); однако детальный анализ показывает, что на самом деле это не полностью правильное описание явления (наиболее очевидным вопросом, не получающим объяснения в рамках такой модели, является вопрос о том, почему монополи никогда не могут быть разделены, то есть почему эксперимент показывает, что никакое изолированное тело на самом деле не обладает магнитным зарядом; кроме того, слабостью модели является то, что она неприменима к магнитному полю, создаваемому макроскопическим током, а значит, если не рассматривать её как чисто формальный приём, приводит лишь к усложнению теории в фундаментальном смысле).

Правильнее будет сказать, что на магнитный диполь, помещённый в неоднородное поле, действует сила, которая стремится повернуть его так, чтобы магнитный момент диполя был сонаправлен с магнитным полем. Но никакой магнит не испытывает действия (суммарной) силы со стороны однородного магнитного поля. Сила, действующая на магнитный диполь с магнитным моментом m, выражается формулой^[7]^[8]:

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}=\left( \mathbf{m}\cdot \nabla \right)\mathbf{B} }[/math].

Сила, действующая на магнит (не являющийся одиночным точечным диполем) со стороны неоднородного магнитного поля, может быть определена суммированием всех сил (определяемых данной формулой), действующих на элементарные диполи, составляющие магнит.

Впрочем, возможен подход, сводящий взаимодействие магнитов к силе Ампера, а сама приведённая выше формула для силы, действующей на магнитный диполь, тоже может быть получена из выражения для силы Ампера.

Явление электромагнитной индукции

Если поток вектора магнитной индукции через замкнутый контур меняется во времени, в этом контуре возникает ЭДС электромагнитной индукции, порождаемая (в случае неподвижного контура) вихревым электрическим полем, возникающим вследствие изменения магнитного поля со временем (в случае неизменного со временем магнитного поля и изменения потока из-за движения контура-проводника такая ЭДС возникает посредством действия силы Лоренца).

Математическое представление

Магнитное поле в макроскопическом описании представлено двумя различными векторными полями, обозначаемыми как H и B.

H называется напряжённостью магнитного поля; B называется магнитной индукцией. Термин магнитное поле применяется к обоим этим векторным полям (хотя исторически относился в первую очередь к H).

Магнитная индукция B является основной^[8]^[9]^[10] характеристикой магнитного поля, так как, во-первых, именно она определяет действующую на заряды силу, а во-вторых, векторы B и E на самом деле являются компонентами единого тензора электромагнитного поля. Аналогично, в единый тензор объединяются величины H и электрическая индукция D. В свою очередь, разделение электромагнитного поля на электрическое и магнитное является совершенно условным и зависящим от выбора системы отсчёта, поэтому вектора B и E должны рассматриваться совместно.

Впрочем, в вакууме (при отсутствии магнетиков), а значит и на фундаментальном микроскопическом уровне, H и B совпадают (в системе СИ с точностью до условного постоянного множителя, а в СГС — полностью), что позволяет в принципе авторам, особенно тем, кто не использует СИ, выбирать для фундаментального описания магнитного поля H или B произвольно, чем они нередко и пользуются (к тому же, следуя в этом традиции). Авторы же, пользующиеся системой СИ, систематически отдают и здесь в этом отношении предпочтение вектору B, хотя бы потому, что именно через него прямо выражается сила Лоренца.

Единицы измерения

Величина B в системе единиц СИ измеряется в теслах (русское обозначение: Тл; международное: T), в системе СГС — в гауссах (русское обозначение: Гс; международное: G). Связь между ними выражается соотношениями: 1 Гс = 1·10⁻⁴ Тл и 1 Тл = 1·10⁴ Гс.

Векторное поле H измеряется в амперах на метр (А/м) в системе СИ и в эрстедах (русское обозначение: Э; международное: Oe) в СГС. Связь между ними выражается соотношением: 1 эрстед = 1000/(4π) A/м ≈ 79,5774715459 А/м.

Энергия магнитного поля

Виды энергии:
	Механическая	Потенциальная Кинетическая
‹♦›	Внутренняя
	Электромагнитная	Электрическая Магнитная
	Химическая
	Ядерная
[math]\displaystyle{ G }[/math]	Гравитационная
[math]\displaystyle{ \emptyset }[/math]	Вакуума
Гипотетические:
[math]\displaystyle{ }[/math]	Тёмная
См. также: Закон сохранения энергии

Приращение плотности энергии магнитного поля равно

[math]\displaystyle{ dw = \mathbf{H}\cdot d\mathbf{B} }[/math].

В линейном тензорном приближении магнитная проницаемость есть тензор (обозначим его [math]\displaystyle{ \hat\mu }[/math]), и умножение вектора на неё есть тензорное (матричное) умножение:

[math]\displaystyle{ \mathbf B = \mu_0\hat\mu \mathbf H\quad }[/math] или в компонентах^[11] [math]\displaystyle{ B_i = \mu_0\mu_{ij}H_j }[/math].

Плотность энергии в этом приближении равна

[math]\displaystyle{ w = \frac{\mathbf{H}\cdot \mathbf{B}}{2} = \frac{\mu_0\mathbf H \hat\mu \mathbf H}{2} = \frac{\mu_0 H_i\mu_{ij}H_j}{2} = }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{\mathbf B (\hat\mu^{-1}) \mathbf B}{2\mu_0} = \frac{B_i(\hat\mu^{-1})_{ij}B_j}{2\mu_0} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mu_{ij} }[/math] — компоненты тензора магнитной проницаемости, [math]\displaystyle{ \hat\mu^{-1} }[/math] — тензор, представимый матрицей, обратной матрице тензора магнитной проницаемости, [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math] — магнитная постоянная.

При выборе осей координат совпадающими с главными осями^[12] тензора магнитной проницаемости формулы в компонентах упрощаются:

[math]\displaystyle{ w = \frac{\mu_0 \mu_{i}(H_i)^2}{2} = \frac{(B_i)^2/\mu_{i}}{2\mu_0} }[/math].

Здесь [math]\displaystyle{ \mu_{i} }[/math] — диагональные компоненты тензора магнитной проницаемости в его собственных осях (остальные компоненты в данных специальных координатах — и только в них! — равны нулю).

В изотропном линейном магнетике

[math]\displaystyle{ w = \frac{HB}{2} = \frac{\mu_0\mu H^2}{2} = \frac{B^2}{2\mu_0\mu} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — относительная магнитная проницаемость. В вакууме [math]\displaystyle{ \mu = 1 }[/math] и

[math]\displaystyle{ w = \frac{\mu_0 H^2}{2} = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{\epsilon_0 c^2 B^2}{2} }[/math].

Энергию магнитного поля в катушке индуктивности можно найти по формуле

[math]\displaystyle{ W = \frac{\Phi I}{2} = \frac{L I^2}{2} }[/math],

где Ф — магнитный поток, I — ток, L — индуктивность катушки или витка с током.

Магнитные свойства веществ

С фундаментальной точки зрения, как это было указано выше, магнитное поле может создаваться (а значит — в контексте этого параграфа — и ослабляться или усиливаться) переменным электрическим полем, электрическими токами в виде потоков заряженных частиц или магнитными моментами частиц.

Конкретные микроскопические структуры и свойства различных веществ (а также их смесей, сплавов, агрегатных состояний, кристаллических модификаций и т. д.) приводят к тому, что на макроскопическом уровне они могут вести себя достаточно разнообразно под действием внешнего магнитного поля (в частности, ослабляя или усиливая его в разной степени).

В связи с этим вещества (и вообще среды) в отношении их магнитных свойств делятся на такие основные группы:

Антиферромагнетики — вещества, в которых установился антиферромагнитный порядок магнитных моментов атомов или ионов: магнитные моменты веществ направлены противоположно и равны по силе.
Диамагнетики — вещества, намагничивающиеся против направления внешнего магнитного поля.
Парамагнетики — вещества, которые намагничиваются во внешнем магнитном поле в направлении внешнего магнитного поля.
Ферромагнетики — вещества, в которых ниже определённой критической температуры (точки Кюри) устанавливается дальний ферромагнитный порядок магнитных моментов.
Ферримагнетики — материалы, у которых магнитные моменты вещества направлены противоположно и не равны по силе.
К перечисленным выше группам веществ в основном относятся обычные твёрдые или (к некоторым) жидкие вещества, а также газы. Существенно отличается взаимодействие с магнитным полем сверхпроводников и плазмы.

Токи Фуко

Токи Фуко́ (вихревые токи) — замкнутые электрические токи в массивном проводнике, возникающие при изменении пронизывающего его магнитного потока. Они являются индукционными токами, образующимися в проводящем теле либо вследствие изменения во времени магнитного поля, в котором оно находится, либо в результате движения тела в магнитном поле, приводящего к изменению магнитного потока через тело или любую его часть. Согласно правилу Ленца, магнитное поле токов Фуко направлено так, чтобы противодействовать изменению магнитного потока, индуцирующему эти токи^[13].

История развития представлений о магнитном поле

Один из первых рисунков магнитного поля (Рене Декарт, 1644)

Хотя магниты и магнетизм были известны с давних времён, изучение магнитного поля началось в 1269 году, когда французский учёный Пётр Перегрин (рыцарь Пьер из Мерикура) при помощи стальных игл разметил магнитное поле на поверхности сферического магнита и определил, что получающиеся линии магнитного поля пересекались в двух точках, которые он назвал «полюсами» (по аналогии с полюсами Земли). Почти три столетия спустя Уильям Гильберт Колчестер использовал труд Петра Перегрина и впервые определённо заявил, что сама Земля является магнитом. Работа Гилберта «De Magnete», опубликованная в 1600 году, заложила основы магнетизма как науки^[14].

В 1750 году Джон Мичелл заявил, что магнитные полюса притягиваются и отталкиваются в соответствии с законом обратных квадратов. Шарль-Огюстен де Кулон экспериментально проверил это утверждение в 1785 году и прямо заявил, что северный и южный полюс не могут быть разделены. Основываясь на этой силе, существующей между полюсами, Симеон Дени Пуассон создал первую успешную модель магнитного поля, которую он представил в 1824 году. В этой модели магнитное поле порождается магнитными полюсами, и магнетизм возникает из-за действия нескольких пар магнитных полюсов (диполей)^[14].

Работа Эрстеда, Der Geist in der Natur, 1854

Три открытия, совершённые в начале XIX века почти подряд, заставили пересмотреть эту модель. Во-первых, в 1819 году Ханс Кристиан Эрстед обнаружил, что электрический ток создаёт магнитное поле вокруг себя. Затем, в 1820 году, Андре-Мари Ампер показал, что параллельные провода, по которым идёт ток в одном и том же направлении, притягиваются друг к другу. Наконец, Жан-Батист Био и Феликс Савар в 1820 году открыли закон, названный законом Био-Савара-Лапласа, который правильно предсказывал магнитное поле вокруг любого провода, находящегося под напряжением^[14].

Расширив эти эксперименты, Ампер в 1825 году издал свою собственную успешную модель магнетизма. В ней он показал эквивалентность электрического тока и источника магнитного поля, создаваемого магнитами, и вместо диполей магнитных зарядов модели Пуассона предложил идею, что магнетизм связан с петлями постоянно текущего тока. Эта идея объясняла, почему «магнитный заряд» (отдельный полюс магнита) не может быть изолирован. Кроме того, Ампер вывел закон, названный его именем, который, как и закон Био-Савара-Лапласа, правильно описывал магнитное поле, создаваемое постоянным током; также была введена теорема о циркуляции магнитного поля. Кроме того, в этой работе Ампер ввёл термин «электродинамика» для описания взаимосвязи между электричеством и магнетизмом^[14].

В 1831 году Майкл Фарадей открыл электромагнитную индукцию, обнаружив, что переменное магнитное поле порождает электричество. Он создал определение этого явления, которое известно как закон электромагнитной индукции Фарадея. Позже Франц Эрнст Нейман доказал, что для движущегося проводника в магнитном поле индукция является следствием действия закона Ампера. При этом он ввёл векторный потенциал электромагнитного поля, который, как позднее было показано, был эквивалентен основному механизму, предложенному Фарадеем^[14].

В 1850 году лорд Кельвин, тогда известный как Уильям Томсон, обозначил различие между двумя типами магнитных полей как поля H и B. Первое было применимо к модели Пуассона, а второе — к модели индукции Ампера. Кроме того, он вывел, как H и B связаны друг с другом^[14].

Между 1861 и 1865 годами Джеймс Клерк Максвелл разработал и опубликовал уравнения Максвелла, которые объяснили и объединили электричество и магнетизм в классической физике. Первая подборка этих уравнений была опубликована в статье в 1861 году, озаглавленной «On Physical Lines of Force». Эти уравнения были признаны действительными, хотя и неполными. Максвелл улучшил эти уравнения в более поздней работе 1865 года «Динамическая теория электромагнитного поля» и определил, что свет представляет собой электромагнитные волны. Генрих Герц экспериментально подтвердил этот факт в 1887 году^[14].

Хотя выражение для подразумеваемой в законе Ампера силы магнитного поля, создаваемого движущимся электрическим зарядом, не было сформулировано в явном виде, в 1892 году Хендрик Лоренц вывел его из уравнений Максвелла. При этом классическая теория электродинамики была в основном завершена^[14].

Двадцатый век расширил взгляды на электродинамику благодаря появлению теории относительности и квантовой механики. Альберт Эйнштейн в статье 1905 года, где была обоснована специальная теория относительности, показал, что электрические и магнитные поля являются частью одного и того же явления, рассматриваемого в разных системах отсчёта. (См. Движущийся магнит и проблема проводника — мысленный эксперимент, который в конечном итоге помог Эйнштейну в разработке СТО). Наконец, в результате объединения квантовой механики с классической электродинамикой была создана квантовая электродинамика (КЭД)^[14].

См. также

Примечания

↑ БСЭ. 1973, «Советская энциклопедия»
↑ В частных случаях магнитное поле может существовать и в отсутствие электрического поля, но вообще говоря магнитное поле глубоко взаимосвязано с электрическим, как динамически (взаимное порождение переменными электрическим и магнитным полем друг друга), так и в том смысле, что при переходе в новую систему отсчёта магнитное и электрическое поле выражаются друг через друга, то есть вообще говоря не могут быть безусловно разделены.
↑ ^3,0 ^3,1 Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике: 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985, — 512 с.
↑ Точно совпадают в системе единиц СГС, в СИ — отличаются постоянным коэффициентом, что, конечно, не меняет факта их практического физического тождества.
↑ Самым важным и лежащим на поверхности отличием тут является то, что сила, действующая на движущуюся частицу (или на магнитный диполь) вычисляются именно через [math]\displaystyle{ \mathbf{B}, }[/math] а не через [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math]. Любой другой физически корректный и осмысленный метод измерения также даст возможность измерить именно [math]\displaystyle{ \mathbf{B}, }[/math] хотя для формального расчёта [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] иногда оказывается более удобным — в чём, собственно, и состоит смысл введения этой вспомогательной величины (иначе без неё вообще обходились бы, используя только [math]\displaystyle{ \mathbf{B}). }[/math]
↑ Однако надо хорошо понимать, что ряд фундаментальных свойств этой «материи» в корне отличается от свойств того обычного вида «материи», который можно было бы обозначить термином «вещество».
↑ Для однородного поля это выражение даёт нулевую силу, поскольку равны нулю все производные B по координатам.
↑ ^8,0 ^8,1 Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Физматлит; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. III. Электричество. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3; ISBN 5-89155-086-5..
↑ При рассмотрении задач не на микроскопическом масштабе, а на т. н. физически бесконечно малом масштабе (ФЭ,Л-М.у. Архивная копия от 3 мая 2011 на Wayback Machine)
↑ Индукция (в физике) // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ Здесь и далее используется видоизмененное правило Эйнштейна суммирования по повторяющимся индексам, то есть обозначение [math]\displaystyle{ a_i T_{ij} b_j }[/math] следует понимать как [math]\displaystyle{ \sum_{ij}a_i T_{ij} b_j }[/math].
↑ «Привязанными» к кристаллу магнетика, то есть связанные с его ориентацией в пространстве.
↑ Главный редактор А. М. Прохоров. Вихревые токи // Физический энциклопедический словарь. — Советская энциклопедия (рус.). — Москва, 1983. Физическая энциклопедия.
↑ ^14,0 ^14,1 ^14,2 ^14,3 ^14,4 ^14,5 ^14,6 ^14,7 ^14,8 Whittaker, E. T. (англ.) (рус.. A History of the Theories of Aether and Electricity (англ.). — Dover Publications, 1951. — P. 34. — ISBN 0-486-26126-3.

Ссылки

[1] БСЭ. 1973, «Советская энциклопедия»

[2] В частных случаях магнитное поле может существовать и в отсутствие электрического поля, но вообще говоря магнитное поле глубоко взаимосвязано с электрическим, как динамически (взаимное порождение переменными электрическим и магнитным полем друг друга), так и в том смысле, что при переходе в новую систему отсчёта магнитное и электрическое поле выражаются друг через друга, то есть вообще говоря не могут быть безусловно разделены.

[Javorski-3] 3,0 ^3,1 Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике: 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985, — 512 с.

[4] Точно совпадают в системе единиц СГС, в СИ — отличаются постоянным коэффициентом, что, конечно, не меняет факта их практического физического тождества.

[5] Самым важным и лежащим на поверхности отличием тут является то, что сила, действующая на движущуюся частицу (или на магнитный диполь) вычисляются именно через [math]\displaystyle{ \mathbf{B}, }[/math] а не через [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math]. Любой другой физически корректный и осмысленный метод измерения также даст возможность измерить именно [math]\displaystyle{ \mathbf{B}, }[/math] хотя для формального расчёта [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] иногда оказывается более удобным — в чём, собственно, и состоит смысл введения этой вспомогательной величины (иначе без неё вообще обходились бы, используя только [math]\displaystyle{ \mathbf{B}). }[/math]

[6] Однако надо хорошо понимать, что ряд фундаментальных свойств этой «материи» в корне отличается от свойств того обычного вида «материи», который можно было бы обозначить термином «вещество».

[7] Для однородного поля это выражение даёт нулевую силу, поскольку равны нулю все производные B по координатам.

[Sivuhin-8] 8,0 ^8,1 Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Физматлит; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. III. Электричество. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3; ISBN 5-89155-086-5..

[9] При рассмотрении задач не на микроскопическом масштабе, а на т. н. физически бесконечно малом масштабе (ФЭ,Л-М.у. Архивная копия от 3 мая 2011 на Wayback Machine)

[bse-10] Индукция (в физике) // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

[11] Здесь и далее используется видоизмененное правило Эйнштейна суммирования по повторяющимся индексам, то есть обозначение [math]\displaystyle{ a_i T_{ij} b_j }[/math] следует понимать как [math]\displaystyle{ \sum_{ij}a_i T_{ij} b_j }[/math].

[12] «Привязанными» к кристаллу магнетика, то есть связанные с его ориентацией в пространстве.

[13] Главный редактор А. М. Прохоров. Вихревые токи // Физический энциклопедический словарь. — Советская энциклопедия (рус.). — Москва, 1983. Физическая энциклопедия.

[Whittaker-14] 14,0 ^14,1 ^14,2 ^14,3 ^14,4 ^14,5 ^14,6 ^14,7 ^14,8 Whittaker, E. T. (англ.) (рус.. A History of the Theories of Aether and Electricity (англ.). — Dover Publications, 1951. — P. 34. — ISBN 0-486-26126-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]