Магнитная индукция

Не следует путать с явлением электромагнитной индукции.

Магнитная индукция
[math]\displaystyle{ \vec B }[/math]
Размерность	MT−2I−1
Единицы измерения
СИ	Тл
СГС	Гс
Примечания
Векторная величина

Магни́тная инду́кция — векторная физическая величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля, а именно характеристикой его действия на движущиеся заряженные частицы и на обладающие магнитным моментом тела.

Стандартное обозначение: [math]\displaystyle{ \vec B }[/math]; единица измерения в СИ — тесла (Тл), в СГС — гаусс (Гс) (связь: 1 Тл = 10⁴ Гс).

Величина магнитной индукции фигурирует в ряде важнейших формул электродинамики, включая уравнения Максвелла.

Для измерения магнитной индукции [math]\displaystyle{ \vec B }[/math] используются магнитометры-тесламетры. Также она может быть найдена расчётным путём — в статической ситуации для этого достаточно знать пространственное распределение токов.

Вектор [math]\displaystyle{ \vec B }[/math] в общем случае зависит от координат рассматриваемой точки и времени [math]\displaystyle{ t }[/math]. Он не инвариантен относительно преобразований Лоренца и изменяется при смене системы отсчёта.

Физический смысл

Магнитная индукция [math]\displaystyle{ \vec B }[/math] — это такой вектор, что сила Лоренца [math]\displaystyle{ \vec F }[/math], действующая со стороны магнитного поля на заряд [math]\displaystyle{ q^* }[/math], движущийся со скоростью [math]\displaystyle{ \vec v }[/math], равна

[math]\displaystyle{ \vec F = q^* \left[ \vec v \times \vec B \right] }[/math]

(по величине [math]\displaystyle{ F = q^* v B \sin\alpha }[/math]).

Косым крестом обозначено векторное произведение, α — угол между векторами скорости и магнитной индукции (вектор [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] перпендикулярен им обоим и направлен по правилу левой руки).

Также магнитная индукция может быть определена как отношение максимального механического момента сил, действующих на рамку с током, помещённую в предполагаемое однородным (на расстояниях порядка размера рамки) магнитное поле, к произведению силы тока [math]\displaystyle{ I^* }[/math] в рамке на её площадь. Момент сил зависит от ориентации рамки и достигает максимального значения при каких-то определённых углах. Звёздочка у символа указывает на то, что заряд или ток являются «пробными», то есть используемыми именно для регистрации поля, в отличие от тех же величин без звёздочки.

Магнитная индукция выступает основной, фундаментальной характеристикой магнитного поля, аналогичной вектору напряжённости электрического поля [math]\displaystyle{ \vec{E} }[/math].

Способы расчёта

Общий случай

В общем случае расчёт магнитной индукции проводится совместно с расчётом электрической составляющей электромагнитного поля посредством решения системы уравнений Максвелла:

[math]\displaystyle{ \mathrm{div}\,(\varepsilon\vec E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0},\ \ \ \mathrm{rot}\,\vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{div}\,\vec B = 0,\ \ \ \ \, \mathrm{rot}\,\frac{\vec B}{\mu} = \mu_0\vec j + \frac{\varepsilon}{c^2}\frac{\partial \vec E}{\partial t} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math] — магнитная постоянная, [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — магнитная проницаемость, [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] — диэлектрическая проницаемость, а [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света в вакууме. Через [math]\displaystyle{ \rho }[/math] обозначена плотность заряда (Кл/м³) и через [math]\displaystyle{ \vec{j} }[/math] плотность тока (А/м²).

Магнитостатика

В магнитостатическом пределе расчёт магнитного поля может быть выполнен с использованием формулы Био—Савара—Лапласа. Вид этой формулы несколько различен для ситуаций, когда поле создаётся текущим по проводу [math]\displaystyle{ L_1 }[/math] током [math]\displaystyle{ I }[/math] и когда оно создаётся объёмным распределением тока:

[math]\displaystyle{ \vec B \left( \vec r \right) = {\mu_0 \over 4\pi}\int\limits_{L_1} \frac{ I \left( \vec r_1 \right)d \vec{l}_1 \times \left( \vec r - \vec r_1 \right)}{\left| \vec r - \vec r_1 \right|^3},\qquad \vec B \left( \vec r \right) = {\mu_0 \over 4\pi}\int \frac{ \vec{j} \left( \vec r_1 \right) dV_1 \times \left( \vec r - \vec r_1 \right)}{ \left| \vec r - \vec r_1 \right|^3} }[/math].

В магнитостатике эта формула играет ту же роль, что закон Кулона в электростатике. Формула позволяет вычислить магнитную индукцию в вакууме. Для случая магнитной среды необходимо использовать уравнения Максвелла (без слагаемых с производными по времени).

Если заранее очевидна геометрия поля, помогает теорема Ампера о циркуляции магнитного поля (эта запись является интегральной формой уравнения Максвелла для [math]\displaystyle{ \mathrm{rot}\,\vec B }[/math] в вакууме):

[math]\displaystyle{ \oint\limits_{L} \vec B\cdot d\vec{l} = \mu_0\int\limits_S \vec j \cdot d\vec{S} }[/math].

Здесь [math]\displaystyle{ S }[/math] — произвольная поверхность, натянутая на выбранный замкнутый контур [math]\displaystyle{ L }[/math].

Простые примеры

Вектор магнитной индукции прямого провода с током [math]\displaystyle{ I }[/math] на расстоянии [math]\displaystyle{ a }[/math] от него составляет

[math]\displaystyle{ \vec{B} = \frac{\mu_0\mu I}{2\pi a}\cdot\vec{e}_{\varphi} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \vec{e}_{\varphi} }[/math] — единичный вектор вдоль окружности, по оси симметрии которой проложен провод. Предполагается, что среда однородна.

Вектор магнитной индукции прямого внутри соленоида с током [math]\displaystyle{ I }[/math] и числом витков на единицу длины [math]\displaystyle{ n }[/math] равен

[math]\displaystyle{ \vec{B} = \mu_0\mu nI\cdot\vec{e}_z }[/math],

где [math]\displaystyle{ \vec{e}_{z} }[/math] — единичный вектор вдоль оси соленоида. Здесь также предполагается однородность магнетика, которым заполнен соленоид.

Связь с напряжённостью

Магнитная индукция и напряжённость магнитного поля связаны через соотношение

[math]\displaystyle{ \vec{B} = \mu_0\mu\vec{H} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — магнитная проницаемость среды (вообще говоря, это тензорная величина, но в большинстве реальных случаев её можно считать скаляром, то есть просто константой конкретного материала).

Основные уравнения

Поскольку вектор магнитной индукции является одной из основных фундаментальных физических величин в теории электромагнетизма, он входит в большое число уравнений, иногда непосредственно, иногда через связанную с ним напряжённость магнитного поля. По сути, единственная область в классической теории электромагнетизма, где он отсутствует, — это электростатика.

Некоторые из уравнений:

• Три из выписанных выше четырех уравнений Максвелла (основных уравнений электродинамики). Их физическое содержание: уравнение для [math]\displaystyle{ \mathrm{div}\,\vec B }[/math] — закон отсутствия монополя, для [math]\displaystyle{ \mathrm{rot}\,\vec E }[/math] — закон электромагнитной индукции Фарадея, для [math]\displaystyle{ \mathrm{rot}\,\vec B }[/math] — закон Ампера — Максвелла.
• Формула силы Лоренца при наличии и магнитного ([math]\displaystyle{ \vec{B} }[/math]), и электрического ([math]\displaystyle{ \vec{E} }[/math]) поля:

  [math]\displaystyle{ \vec F = q^* \vec E + q^* \left[ \vec v \times \vec B \right] }[/math].

• Выражение для силы Ампера, действующей со стороны магнитного поля на ток (участок провода с током):

  [math]\displaystyle{ d \vec F = \left[ I^* \vec{dl} \times \vec B \right] }[/math] или [math]\displaystyle{ d \vec F = \left[ \vec j^* dV \times \vec B \right] }[/math].

• Выражение для момента силы, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь [math]\displaystyle{ m^* }[/math] (виток с током, катушку или постоянный магнит):

  [math]\displaystyle{ \vec M = \vec m^* \times \vec B }[/math].

• Выражение для потенциальной энергии магнитного диполя в магнитном поле:

  [math]\displaystyle{ U = - \vec m^* \cdot \vec B }[/math],

из которого следуют выражения для силы, действующей на магнитный диполь в неоднородном магнитном поле,

• Выражение для силы, действующей со стороны магнитного поля на точечный магнитный заряд:

  [math]\displaystyle{ \vec F = K \frac{q_m^* \vec r}{r^3}. }[/math]

(это выражение, точно соответствующее обычному закону Кулона, широко используется для формальных вычислений, для которых ценна его простота, несмотря на то, что реальных магнитных зарядов в природе не обнаружено; также может прямо применяться к вычислению силы, действующей со стороны магнитного поля на полюс длинного тонкого магнита или соленоида).

• Выражение для плотности энергии магнитного поля

  [math]\displaystyle{ w = \frac{B^2}{2 \mu_0\mu} }[/math].

Оно входит (вместе с энергией электрического поля) и в выражение для энергии электромагнитного поля, и в лагранжиан электромагнитного поля, и в его действие. Последнее же с современной точки зрения является фундаментальной основой электродинамики (как классической, так в принципе и квантовой).

Типичные значения

характерные значения магнитной индукции

объект	[math]\displaystyle{ B }[/math], Тл	объект	[math]\displaystyle{ B }[/math], Тл
магнитоэкранируемая комната	10-14	солнечное пятно	0,15
межзвёздное пространство	10-10	небольшой магнит (Nd-Fe-B)	0,2
магнитное поле Земли	5*10-5	большой электромагнит	1,5
1 см от провода с током 100 А	2*10-3	сильный лабораторный магнит	10
небольшой магнит (феррит)	0,01	поверхность нейтронной звезды	108

См. также

• Векторный потенциал
• Уравнения Максвелла
• Электромагнитное поле
• Тензор электромагнитного поля
• Напряжённость магнитного поля