Лоренц-фактор

Фа́ктор Ло́ренца, или ло́ренц-фа́ктор, га́мма-фа́ктор — безразмерная физическая величина, используемая в релятивистской кинематике, монотонно возрастающая положительная функция скорости. Названа по имени Г. А. Лоренца. Определяется как

[math]\displaystyle{ \gamma \equiv \frac {1} {\sqrt{ 1 - v^2 / c^2}}, }[/math]

где v — скорость, c — скорость света в вакууме.

С увеличением скорости от 0 до c лоренц-фактор γ увеличивается от 1 до [math]\displaystyle{ +\infty. }[/math]

Связан с безразмерной скоростью β = v/c следующим образом:

[math]\displaystyle{ \gamma = \frac {1} {\sqrt{ 1 - \beta^2}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta = {\sqrt{ 1 - \frac {1}{\gamma^2}}}. }[/math]

Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу быстроты φ:

[math]\displaystyle{ \gamma=\mathrm{ch}\,\varphi ; }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi=\mathrm{Arch}\,\gamma . }[/math]

Собственное время частицы обратно пропорционально её лоренц-фактору. Время, измеряемое равномерно движущимися часами в данной инерциальной системе отсчёта, замедляется в γ раз. Если частица (часы) движется с переменной скоростью, её собственное время, прошедшее между событиями А и В на её мировой линии, равно:

[math]\displaystyle{ \tau = \int_A^B \frac{dt}{\gamma (t) } . }[/math]

Например, собственное время мюона, летящего из верхних слоёв атмосферы со скоростью 0,99 от скорости света, замедляется по сравнению с координатным временем в [math]\displaystyle{ \gamma = \frac {1} {\sqrt{ 1 - 0,99^2}} \approx 7 }[/math] раз, в результате время жизни такого мюона оказывается в 7 раз длиннее времени жизни покоящегося мюона.

Релятивистское сокращение длины движущегося объекта пропорционально его лоренц-фактору. Так, в системе отсчёта вышеупомянутого мюона Земля движется со скоростью 0,99с, и в результате расстояние между верхними слоями атмосферы и поверхностью Земли сокращается в 7 раз.

Отношение полной энергии частицы к её массе равно лоренц-фактору (с точностью до множителя с²). В частности, полная энергия покоящейся частицы равна её массе, а для ультрарелятивистской частицы её масса пренебрежимо мала по сравнению с энергией ([math]\displaystyle{ \gamma \gg 1 }[/math]). Таким образом, полная энергия рассмотренного выше мюона (масса которого m_μ = 106 МэВ/c²) примерно равна 7m_μc² = 740 МэВ.

Численные значения

Лоренц-фактор γ как функция скорости. Начальное значение равно единице (когда v = 0); когда скорость стремится к скорости света (v → c), γ неограниченно возрастает (γ → ∞)

Скорость (в единицах скорости света)	Лоренц-фактор	Обратный лоренц-фактор
[math]\displaystyle{ \beta = v/c }[/math]	[math]\displaystyle{ \gamma }[/math]	[math]\displaystyle{ 1/\gamma }[/math]
0,000	1,000	1,000
0,050	1,001	0,999
0,100	1,005	0,995
0,200	1,021	0,980
0,300	1,048	0,954
0,400	1,091	0,917
0,500	1,155	0,866
0,600	1,250	0,800
0,700	1,400	0,714
0,750	1,512	0,661
0,800	1,667	0,600
0,866	2,000	0,500
0,900	2,294	0,436
0,950	3,203	0,312
0,980	5,025	0,199
0,990	7,089	0,141
0,999	22,366	0,045
0,99995	100	0,01
···	···	···
1,000	∞	0,000

См. также

Литература

Young H. D., Freedman R. A. et al. Sears' and Zemansky's University Physics (англ.). — 12th. — Pearson Ed. & Addison-Wesley, 2008. — ISBN 978-0-321-50130-1.