Космологическое уравнение состояния
Космологическое уравнение состояния (уравнение состояния космологической модели) — зависимость давления от плотности энергии определённой среды. В космологии принимают, что давление [math]\displaystyle{ P }[/math] зависит линейно от плотности энергии [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]: [math]\displaystyle{ P = w\varepsilon\,. }[/math] Уравнение состояния определяет, как со временем происходит расширение Вселенной и изменение плотности энергии самой среды. Для нерелятивисткого вещества безразмерные коэффициент пропорциональности [math]\displaystyle{ w_m = 0\,, }[/math] для излучения и релятивистских частиц [math]\displaystyle{ w_r = 1/3\,. }[/math] Среда с уравнением состояния, для которого [math]\displaystyle{ w \lt -1/3 }[/math] приводит к ускорению расширения Вселенной и называется тёмной энергией; наиболее общепринятым вариантом тёмной энергии является космологическая постоянная с [math]\displaystyle{ w_\Lambda = -1\,. }[/math]
Описание
Уравнения состояния в общем виде могут иметь сложный вид, но поскольку космология обычно имеет дело с разреженными средами, то зависимость давления [math]\displaystyle{ P }[/math] от плотности энергии [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] представляют в линейном виде: [math]\displaystyle{ P = w\varepsilon }[/math], где [math]\displaystyle{ w }[/math] ― безразмерная величина[1].
Уравнение состояния различных сред во Вселенной и их плотность — параметры, от которых зависит расширение Вселенной. Его можно описать следующими уравнениями[1][2]:
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3c^2} \varepsilon - \frac{\kappa c^2}{R^2 a^2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \dot{\varepsilon} + 3 \frac{\dot{a}}{a} (\varepsilon + P) = 0 }[/math]
Уравнение ускорения:
- [math]\displaystyle{ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3c^2} (\varepsilon + 3P) }[/math]
Третье уравнение выводится из первых двух, так что в этой системе два независимых уравнения[1]. В этих уравнениях [math]\displaystyle{ a }[/math] — масштабный коэффициент ― величина, описывающая расширение или сжатие Вселенной, [math]\displaystyle{ G }[/math] — гравитационная постоянная, [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света, [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] — кривизна Вселенной (принимает значения [math]\displaystyle{ 0 }[/math] для плоского пространства, [math]\displaystyle{ +1 }[/math] для пространства с положительной кривизной и [math]\displaystyle{ -1 }[/math] с отрицательной), [math]\displaystyle{ R }[/math] ― радиус кривизны Вселенной. Точка или две точки над символом означает, соответственно, производную по времени или производную второго порядка по времени[3].
В этих уравнениях три неизвестных функции от времени: [math]\displaystyle{ a(t) }[/math], [math]\displaystyle{ \varepsilon(t) }[/math], [math]\displaystyle{ P(t) }[/math]. Уравнение состояния даёт связь между двумя последними неизвестными, что позволяет решить систему уравнений. От его типа зависит вид решения. Например, у сред с различными коэффициентами [math]\displaystyle{ w }[/math] плотность энергии при расширении Вселенной меняется по-разному: из закона сохранения можно получить соотношение [math]\displaystyle{ \varepsilon \propto a^{-3 - 3w}\,. }[/math] При этом среды с различными уравнениями состояния могут сосуществовать одновременно: если между ними не происходит обмен энергией, то при расширении Вселенной плотность энергии каждой из сред меняется независимо от остальных[4]. Для Вселенной с нулевой кривизной, содержащей только среду с определённым уравнением состояния, функция [math]\displaystyle{ a(t) }[/math] также будет зависеть от [math]\displaystyle{ w }[/math][5]:
- [math]\displaystyle{ a(t) = \left(\frac{t}{t_0}\right)^\frac{2}{3 + 3w}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] — возраст Вселенной в данный момент. Для такой однокомпонентной Вселенной возраст можно выразить через [math]\displaystyle{ w }[/math] и постоянную Хаббла [math]\displaystyle{ H_0 = \dot{a}/a }[/math] в момент [math]\displaystyle{ t_0 }[/math][6]:
- [math]\displaystyle{ t_0 = \frac{2}{3(1 + w)} H_0^{-1}\,. }[/math]
В этом же случае плотность энергии меняется со временем как [math]\displaystyle{ \varepsilon(t) = (t/t_0)^{-2}\,, }[/math] независимо от [math]\displaystyle{ w }[/math]. Приведённые формулы справедливы для [math]\displaystyle{ w \ne -1 }[/math][6].
Можно рассмотреть обычное нерелятивистское вещество. Давление в нём пренебрежимо мало по сравнению с плотностью энергии (см. ниже ), так что [math]\displaystyle{ w = 0 }[/math]. Если вся Вселенная состоит из обычного вещества, то при расширении Вселенной и росте [math]\displaystyle{ a }[/math] плотность энергии такого вещества уменьшается, как следует из закона сохранения. Уравнение ускорения показывает, что [math]\displaystyle{ \ddot{a}/a \lt 0\,, }[/math] то есть, расширение Вселенной замедляется — это можно упрощённо интерпретировать как простое следствие гравитационного взаимодействия, которое замедляет разлёт частиц. Если же представить [math]\displaystyle{ w \lt -1/3 }[/math], то это будет означать, что при положительной плотности энергии, наоборот, Вселенная расширяется ускоренно ― это случай тёмной энергии (см. ниже )[7][8].
Уравнения состояния различных сред
Материя
В качестве примера можно рассмотреть разреженный газ, состоящий из нерелятивистских частиц. Уравнение состояния идеального газа обычно записывают в следующем виде[1]:
- [math]\displaystyle{ P = \frac{\rho}{\mu}kT, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — массовая плотность, [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — молярная масса газа, [math]\displaystyle{ k }[/math] — постоянная Больцмана, [math]\displaystyle{ T }[/math] — температура. Чтобы перейти к выражению давления через плотность энергии, нужно учесть, что у нерелятивистского газа энергия практически равна энергии покоя, так что [math]\displaystyle{ \varepsilon \approx \rho c^2\,. }[/math] Тогда можно записать[1]:
- [math]\displaystyle{ P \approx \frac{kT}{\mu c^2} \varepsilon\,. }[/math]
Поскольку газ нерелятивистский, то для среднеквадратичной скорости его частиц [math]\displaystyle{ \langle v^2 \rangle }[/math] верно соотношение [math]\displaystyle{ 3kT = \mu \langle v^2 \rangle }[/math], где предполагается [math]\displaystyle{ \langle v^2 \rangle \ll c^2\,. }[/math] Уравнение состояния можно привести к виду [math]\displaystyle{ P = w_m \varepsilon\,, }[/math] где[1]:
- [math]\displaystyle{ w_m \approx \frac{\langle v^2 \rangle}{3c^2} \ll 1\,. }[/math]
Таким образом, для нерелятивистского вещества можно считать [math]\displaystyle{ w_m = 0\,. }[/math] Среду с таким уравнением состояния в космологии принято называть холодной материей, либо просто материей, противопоставляя ей излучение (см. ниже ). К ней относится не только нерелятивистское барионное вещество, сейчас составляющее 4,8 % критической плотности Вселенной, но и холодная тёмная материя[9] — принятый в стандартной модели ΛCDM вид тёмной материи, которая составляет 26 % критической плотности и имеет неизвестную природу[2][10][11][12].
Для частично релятивистского вещества, у которого [math]\displaystyle{ 0 \lt \langle v^2 \rangle \lt c^2\,, }[/math] [math]\displaystyle{ w }[/math] будет находиться в диапазоне от 0 до 1/3[10].
Излучение
Уравнение состояния для фотонов, а также для релятивистского газа записывается в виде[1]:
- [math]\displaystyle{ P \approx \frac{1}{3} \varepsilon\,. }[/math]
Соответственно, [math]\displaystyle{ w_r = 1/3\,. }[/math] Среду с таким уравнением состояния в космологии принято называть горячей материей, либо излучением. В современной Вселенной плотность излучения очень мала: фотоны, в основном относящиеся к реликтовому излучению, составляют 5,4⋅10−5 критической плотности, а релятивистские нейтрино ― 3,6⋅10−5 критической плотности. Из-за такого уравнения состояния плотность излучения убывает с расширением Вселенной как [math]\displaystyle{ \varepsilon_r \propto a^{-4}\,, }[/math] что быстрее, чем убывание плотности материи как [math]\displaystyle{ \varepsilon_m \propto a^{-3}\,. }[/math] Плотности материи и излучения были равны, когда Вселенной было 50 миллионов лет ― сейчас её возраст составляет 13,7 миллиардов лет[2][13].
Более быстрый спад плотности энергии излучения при расширении Вселенной можно интерпретировать следующим образом. Концентрация [math]\displaystyle{ n }[/math] и для фотонов, и для нерелятивистских частиц меняется с масштабным коэффициентом как [math]\displaystyle{ n \propto a^{-3}\,. }[/math] Для нерелятивистских частиц, энергия которых практически полностью обусловлена энергией покоя, такую же пропорциональность имеет и плотность энергии. Энергию фотона [math]\displaystyle{ E }[/math] можно выразить через его длину волны [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]: [math]\displaystyle{ E = hc/\lambda\,, }[/math] где [math]\displaystyle{ h }[/math] — постоянная Планка. Поскольку длина волны фотона увеличивается вместе с расширением Вселенной — [math]\displaystyle{ \lambda \propto a }[/math], то для фотонов [math]\displaystyle{ \varepsilon_r = nE = n(hc/\lambda) \propto a^{-3} a^{-1} = a^{-4} }[/math][14].
Кривизна пространства
Кривизну пространства также можно представить в виде составляющей Вселенной и использовать плотность кривизны в уравнениях, описывающих расширение Вселенной. Для кривизны [math]\displaystyle{ w_K = -1/3 }[/math] и [math]\displaystyle{ \varepsilon_K \propto a^{-2}\,. }[/math] Плотность кривизны точно определяется через радиус кривизны[15]:
[math]\displaystyle{ \varepsilon_K = -\frac{3}{8 \pi G a^2 R^2}\,. }[/math]
Наблюдения показывают, что наша Вселенная практически плоская, с радиусом кривизны гораздо большим, чем радиус горизонта, и плотность кривизны считают нулевой[15][16].
Тёмная энергия
Различные среды с уравнениями состояния, для которых [math]\displaystyle{ w \lt -1/3 }[/math], называют тёмной энергией. Особенность такого уравнения состояния в том, что при положительной плотности тёмной энергии уравнение ускорения даёт [math]\displaystyle{ \ddot{a}/a \gt 0\,, }[/math] что означает ускоренное расширение Вселенной. Тёмная энергия имеет неизвестную природу, но поскольку ускоренное расширение Вселенной наблюдается в действительности, тёмная энергия — необходимая составляющая Вселенной[1][17].
Наиболее общепринятый вариант тёмной энергии — космологическая постоянная (лямбда-член) с [math]\displaystyle{ w_\Lambda = -1\,. }[/math] При таком уравнении состояния плотность тёмной энергии остаётся постоянной при расширении Вселенной, поэтому космологическую постоянную также интерпретируют как энергию вакуума. Плоская Вселенная, в которой доминирует космологическая постоянная, будет расширяться экспоненциально: [math]\displaystyle{ a(t) = e^{H_0(t - t_0)} }[/math][18].
В модели ΛCDM используется именно этот вид тёмной энергии, её плотность составляет 69 % критической плотности. В возрасте Вселенной в 10,2 миллиарда лет доли материи и космологической постоянной во Вселенной были равны. Кроме того, космологическая постоянная — исторически первый рассмотренный вид тёмной энергии: первоначально Альберт Эйнштейн ввёл его для построения модели стационарной Вселенной в 1917 году[19].
Тем не менее, не исключены и другие уравнения состояния тёмной энергии. Например, возможный вариант тёмной энергии с [math]\displaystyle{ w \lt -1 }[/math] называется фантомной энергией — при расширении её плотность энергии возрастает. Если в расширяющейся Вселенной присутствует фантомная энергия, то её плотность рано или поздно будет превышать плотность энергии любых гравитационно связанных систем и других тел, что приведёт к их разрушению, а масштабный коэффициент достигнет бесконечности за конечное время — это сценарий Большого разрыва[20].
Также не исключена и возможность того, что [math]\displaystyle{ w }[/math] тёмной энергии меняется со временем — подобный вид тёмной энергии называют квинтэссенцией[21].
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 Ryden, 2017, p. chapter 4.4.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Вайнберг, 2013, с. 59.
- ↑ Ryden, 2017, p. chapters 1, 2.3, 3.4, 4.
- ↑ Вайнберг, 2013, с. 29.
- ↑ Ryden, 2017, p. chapters 4.4, 5.3.
- ↑ 6,0 6,1 Ryden, 2017, p. chapter 5.3.
- ↑ Ryden, 2017, p. chapters 4.2, 4.4.
- ↑ Вайнберг, 2013, с. 78.
- ↑ Cold Dark Matter - an overview | ScienceDirect Topics . www.sciencedirect.com. Дата обращения: 9 января 2023. Архивировано 9 января 2023 года.
- ↑ 10,0 10,1 Ryden, 2017, p. chapters 4.4, 5.5, 11.5.
- ↑ Concordance Model . astronomy.swin.edu.au. Дата обращения: 9 января 2023. Архивировано 9 января 2023 года.
- ↑ Dark Matter . astronomy.swin.edu.au. Дата обращения: 10 января 2023. Архивировано 9 января 2023 года.
- ↑ Ryden, 2017, p. chapters 4.4, 5.5.
- ↑ Ryden, 2017, p. chapter 5.1.
- ↑ 15,0 15,1 Hu W. FRW Cosmology . University of Chicago. Дата обращения: 10 января 2023. Архивировано 10 января 2023 года.
- ↑ Ryden, 2017, p. chapter 6.2.
- ↑ Dark Energy . astronomy.swin.edu.au. Дата обращения: 10 января 2023. Архивировано 6 ноября 2022 года.
- ↑ Ryden, 2017, p. chapters 4.4, 4.5, 5.3.3.
- ↑ Ryden, 2017, p. chapters 4.5, 5.5, 11.5.
- ↑ Ryden, 2017, pp. chapters 5, 12 exercises.
- ↑ Tsujikawa S. Quintessence: a review // Classical and Quantum Gravity. — 2013-11-01. — Т. 30. — С. 214003. — ISSN 0264-9381. — doi:10.1088/0264-9381/30/21/214003. Архивировано 28 ноября 2022 года.
Литература
- Вайнберг С. Космология. — М.: УРСС, 2013. — 608 с. — ISBN 978-5-453-00040-1.
- Ryden B. Introduction to Cosmology. — Cambridge University Press, 2017. — 277 с. — ISBN 978-1-107-15483-4.