Континуум (теория множеств)
Конти́нуум в теории множеств — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел.[1] Обозначается строчной латинской буквой c во фрактурном начертании: [math]\displaystyle{ \mathfrak{c} }[/math]. Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным[2] множеством.
Также термин «континуум» может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество.
Свойства
- Континуум есть мощность булеана счётного множества.
- Как мощность булеана счётного множества, континуум является бесконечной мощностью[3], превосходящей счётную. В теории множеств с аксиомой выбора континуум, как и любая бесконечная мощность, является алефом, и, при обозначении ординального номера континуума в ряду алефов буквой [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] ([math]\displaystyle{ \mathfrak c=\aleph_\zeta }[/math]), выполняется [math]\displaystyle{ \zeta\gt 0 }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \aleph_0\lt \aleph_1\le\aleph_\zeta=\mathfrak c }[/math].
- В ряду бесконечных булеанов [math]\displaystyle{ \gimel_\xi }[/math][4] континуум [math]\displaystyle{ \mathfrak c=\gimel_1 }[/math].
- Предположение, что не существует мощностей, промежуточных между счётной и континуумом, называется континуум-гипотезой. В теории множеств с аксиомой выбора она формулируется, как [math]\displaystyle{ \mathfrak{c} = \aleph_1 }[/math] или [math]\displaystyle{ \gimel_1 = \aleph_1 }[/math] или [math]\displaystyle{ \zeta=1 }[/math], где [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] — ранее введённый номер континуума в ряду алефов. Обобщённая континуум-гипотеза формулируется, как [math]\displaystyle{ \gimel_\xi=\aleph_\xi }[/math] для любого ординала [math]\displaystyle{ \xi }[/math].
- Счётная декартова степень континуума — континуум: [math]\displaystyle{ \mathfrak c^{\aleph_0}=\mathfrak c }[/math], и, следовательно, любая ненулевая конечная[5] декартова степень континуума — так же континуум: [math]\displaystyle{ (\forall n\in \mathbb N \setminus \left\{0\right\})\mathfrak c^n=\mathfrak c }[/math].
- В теории множеств с аксиомой выбора мощность объединения не более чем континуального семейства множеств, каждое из которых само не более чем континуально, не превосходит континуума, то есть [math]\displaystyle{ \aleph_{\zeta+1}=\mathfrak c^+ }[/math] регулярен.
- Мощность объединения не более чем счётного семейства не более чем счётных множеств не более чем счётна, то есть сечение[6] класса мощностей (как большого[7] частичного порядка), нижний класс которого есть не более чем счётные мощности, непреодолимо «по Пифагору»[8], то есть в теории множеств с аксиомой выбора [math]\displaystyle{ \aleph_1 }[/math] регулярен. Как следствие, континуум (как и [math]\displaystyle{ \aleph_1 }[/math]) недостижим «по Пифагору» от не более чем счётных мощностей — не может быть получен объединением не более чем счётного числа не более чем счётных.
- При разбиении континуального множества на конечное или счётное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность континуум. Как следствие, в теории множеств с аксиомой выбора конфинальность континуума — несчётна.
Происхождение термина
Изначально континуумами были названы более чем одноточечные непрерывные («континуальные») порядки, то есть порядки со связной естественной топологией. В терминах собственно порядка это означает, что любое его сечение является дедекиндовым.
Континуум как целое может как иметь, так и не иметь минимального и максимального элементов, то есть его концы могут быть как «открыты», так и «замкнуты».
Минимальным (то есть содержащимся в любом континууме) континуумом является вещественная прямая (как с открытыми, так и с замкнутыми концами).
Любой порядок может быть пополнен до континуума, из чего следует, что континуумы могут иметь неограниченно большие мощности. В кардинальном ряду они обозначаются [math]\displaystyle{ \mathfrak c_\xi }[/math], где [math]\displaystyle{ \xi }[/math] — ординальный номер континуума.
Минимальное пополнение порядка до континуума строится заполнением щелей дополнительными точками, а скачков — отрезками (0, 1) без концов.
В последующем термин «континуум», выйдя за пределы специфических порядковых рассмотрений, в теории множеств (а вслед за ней — и в остальной математике) сузился до собственно вещественной прямой, а «мощность континуума» [math]\displaystyle{ \mathfrak c=\mathfrak c_0 }[/math], стала, соответственно, её мощностью. В дальнейшем «континуумом» стали называть уже саму мощность континуума [math]\displaystyle{ \mathfrak c }[/math]. В топологии этот термин, напротив, расширился до любой связной компактной хаусдорфовой топологии (связного компакта), безотносительно к тому, имеет ли данная топология порядковое происхождение, при этом некоторые континуумы в старом смысле (например, вещественная прямая с открытыми концами) перестали считаться таковыми из-за потери компактности. В настоящее время использование термина «континуум» в исходном смысле встречается в основном лишь в сравнительно старой литературе.
Примеры
Примеры множеств, имеющих мощность континуум:
- Все точки вещественной прямой [math]\displaystyle{ (-\infty,+\infty) }[/math] (множество вещественных чисел [math]\displaystyle{ \R }[/math]).
- Все точки отрезка [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math].
- Все точки плоскости [math]\displaystyle{ \R^2 }[/math] (или [math]\displaystyle{ n }[/math]‑мерного пространства [math]\displaystyle{ \R^n }[/math], [math]\displaystyle{ n\neq0 }[/math]).
- Множество всех иррациональных чисел.
- Множество всех трансцендентных чисел.
- Множество всех подмножеств счётного множества.
- Множество всех частичных порядков на счётном множестве.
- Множество всех счётных множеств натуральных чисел.
- Множество всех счётных множеств вещественных чисел.
- Множество всех непрерывных функций [math]\displaystyle{ \R \to \R }[/math].
- Множество всех открытых подмножеств плоскости [math]\displaystyle{ \R^2 }[/math] (или [math]\displaystyle{ \R^n }[/math]).
- Множество всех замкнутых подмножеств плоскости [math]\displaystyle{ \R^2 }[/math] (или [math]\displaystyle{ \R^n }[/math]).
- Множество всех борелевских подмножеств плоскости [math]\displaystyle{ \R^2 }[/math] (или [math]\displaystyle{ \R^n }[/math]).
- Канторово множество
Примечания
- ↑ Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М.-Л., Гостехиздат, 1948. — с. 11
- ↑ Математика справочник Куринной Г. Ч.
- ↑ См. бесконечное множество.
- ↑ Ряд бесконечных булеанов определяется, как [math]\displaystyle{ \gimel_0=\aleph_0 }[/math]; [math]\displaystyle{ \gimel_{\xi+1}=|\mathcal P(\gimel_\xi)| }[/math]; [math]\displaystyle{ \gimel_{\sup u}=\sup_{\xi\in u} \gimel_\xi }[/math].
- ↑ См. конечное множество.
- ↑ Разбиение секомого предпорядка на два дизъюнктных класса: верхний и нижний. Любой элемент, меньше либо равный какому-либо из нижнего, сам находится в нижнем, больше либо равный какому-либо из верхнего, сам находится в верхнем. Если какой-либо из классов пуст — сечение несобственное.
- ↑ предполагается использование какого-либо способа разрешения формальных сложностей, связанных с большими объектами: теории с классами, погружение в универсальное множество и т. п.
- ↑ Сам сказал: единица порождает существование, двоица — неопределённое множество.
 | В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |