Конечномерное пространство

Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов, называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов, называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Свойства конечномерных пространств

Всякий элемент [math]\displaystyle{ x }[/math] конечномерного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] представим единственным образом в виде

[math]\displaystyle{ x=a_1 e_1+a_2 e_2+...+a_n e_n, }[/math]

[math]\displaystyle{ a_1, a_2,...,a_n\in \mathbb P }[/math] где [math]\displaystyle{ \mathbb P }[/math] — поле (часто [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]), над которым рассматривается пространство [math]\displaystyle{ X }[/math], [math]\displaystyle{ e_1, e_2,...,e_n\in X }[/math] — элементы базиса. Это следует из определения базиса.

Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.

• Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства.
• Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — конечномерное пространство и [math]\displaystyle{ \{x_1, x_2,...,x_k\} }[/math] — линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса.
• Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
• В любом конечномерном пространстве над полем [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] можно ввести скалярное произведение. Например, в пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math] с фиксированным базисом, размерности [math]\displaystyle{ n }[/math], можно ввести скалярное произведение по правилу:
  [math]\displaystyle{ \forall x_1,x_2\in X, (x_1, x_2)=\sum_{k=1}^n a_k\cdot b_k }[/math], где [math]\displaystyle{ \{a_k\},\{b_k\} }[/math] — компоненты векторов [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] соответственно.
  Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] можно ввести норму и метрику. Как следствие, можно получить что:
  • [math]\displaystyle{ X }[/math] — рефлексивное пространство.
  • Пространство [math]\displaystyle{ X^* }[/math], сопряжённое к некоторому конечномерному пространству [math]\displaystyle{ X }[/math], конечномерно и его размерность совпадает с размерностью [math]\displaystyle{ X }[/math].
  • Для любого подпространства [math]\displaystyle{ M\subset X }[/math] конечномерного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] существует подпространство [math]\displaystyle{ M^\perp\subset X }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ \forall x\in M, \forall y\in M^\perp, x\perp y }[/math] и [math]\displaystyle{ X }[/math] разлагается в прямую сумму [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ M^\perp }[/math], [math]\displaystyle{ X=M\oplus M^\perp }[/math].
• В евклидовом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится сильно.
• Все нормы в конечномерном пространстве над полем [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] эквивалентны. Сходимость в евклидовом пространстве эквивалентна покоординатной сходимости.
• Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы.
• Пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] над полем [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный оператор [math]\displaystyle{ I: X\rightarrow X }[/math] является вполне непрерывным.
• Пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над [math]\displaystyle{ X }[/math] обратимый вполне непрерывный оператор.
• Пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в [math]\displaystyle{ X }[/math] предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в [math]\displaystyle{ X }[/math] множество предкомпактно.
• Всякий линейный оператор [math]\displaystyle{ A:X\rightarrow Y }[/math], определённый в конечномерном пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math] является непрерывным и даже вполне непрерывным.
• В конечномерном пространстве, каждый оператор является унитарным тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.

Примеры

• Евклидово пространство [math]\displaystyle{ \mathbb E^3 }[/math] имеет размерность 3, за его базис можно выбрать тройку векторов

[math]\displaystyle{ \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \} }[/math]

Более общий случай — пространства [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math] размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов ([math]\displaystyle{ 1\leq p \lt \infty }[/math]):

[math]\displaystyle{ \|x\|_p = \sqrt[p] {\sum_{i=1}^n{|x_i|^p}} }[/math] или [math]\displaystyle{ \|x\|_\infty = \max_{i=1,2,\dots,n}{|x_i|}. }[/math]

Если ввести норму [math]\displaystyle{ \|x\|_2 }[/math] и скалярное произведение [math]\displaystyle{ (x,y) = {\sum_{i=1}^n{x_i y_i}}, }[/math] то пространство будет евклидовым.

• [math]\displaystyle{ P^n }[/math] — пространство всех многочленов степени не выше [math]\displaystyle{ n }[/math]. Размерность этого пространства [math]\displaystyle{ n+1 }[/math]. Многочлены [math]\displaystyle{ 1, x, x^2,..., x^n }[/math] образуют в нём базис.
• Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — произвольное линейное пространство и пусть [math]\displaystyle{ \{x_1,x_2,...,x_n\} }[/math] некоторая линейно-независимая система векторов. Тогда линейная оболочка, натянутая на эту систему есть конечномерное пространство.

См. также

• Бесконечномерное пространство

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.