Кинетическая энергия

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Виды энергии:
Atwood machine.svg Механическая  Потенциальная
 Кинетическая
‹♦› Внутренняя
Sun corner.svg Электромагнитная  Электрическая
 Магнитная
Oil&gas portal logo.PNG Химическая
Radiation symbol alternate.svg Ядерная
[math]\displaystyle{ G }[/math] Гравитационная
[math]\displaystyle{ \emptyset }[/math] Вакуума
Гипотетические:
[math]\displaystyle{ }[/math] Тёмная
См. также: Закон сохранения энергии

Кинети́ческая эне́ргия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точек[1]. Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии[2]. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как

[math]\displaystyle{ T = \sum{{m_i v_i^2} \over 2} }[/math],

где индекс [math]\displaystyle{ \ i }[/math] нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения[3]. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением[4]. Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: [math]\displaystyle{ T }[/math], [math]\displaystyle{ E_{kin} }[/math], [math]\displaystyle{ K }[/math] и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж).

Упрощённо, кинетическая энергия — это работа, которую необходимо совершить, чтобы тело массой [math]\displaystyle{ m }[/math] разогнать из состояния покоя до скорости [math]\displaystyle{ v }[/math]. Либо, наоборот, это работа, требующаяся, чтобы тело массой [math]\displaystyle{ m }[/math], обладающее начальной скоростью [math]\displaystyle{ v }[/math], остановить.

История и этимология понятия

Прилагательное «кинетический» происходит от греческого слова κίνησις (kinesis, «движение»). Дихотомия между кинетической энергией и потенциальной энергией восходит к аристотелевским концепциям потенциальности и актуальности[en][5] .

Принцип классической механики, согласно которому E ∝ m|v|, был впервые разработан Готфридом Лейбницем и Иоганном Бернулли, описавшими кинетическую энергию как живую силу (лат. vis viva)[6]. Вильгельм Гравезанд из Нидерландов предоставил экспериментальные доказательства этой связи. Сбрасывая грузы с разной высоты на глиняный блок, он определил, что глубина их проникновения пропорциональна квадрату скорости удара. Эмили дю Шатле осознала значение данного эксперимента и опубликовала объяснение[7].

Понятия «кинетическая энергия» и «работа» в их нынешнем научном значении восходят к середине XIX века. В 1829 году Гаспар-Гюстав Кориолис опубликовал статью Du Calcul de l’Effet des Machines, в которой излагалась математика того, что по сути является кинетической энергией. Создание и введение в оборот самого термина «кинетическая энергия» приписывают Уильяму Томсону (лорду Кельвину) c 1849—1851 гг.[8][9]. Ренкин, который ввел термин «потенциальная энергия» в 1853 году[10], позже цитировал У. Томсона и П. Тэйта с заменой слова «кинетическая» на «фактическая»[11].

Кинетическая энергия в классической механике

Случай одной материальной точки

По определению, кинетической энергией материальной точки массой [math]\displaystyle{ m }[/math] называется величина

[math]\displaystyle{ T = {{m v^2} \over 2} }[/math],

при этом предполагается, что скорость точки [math]\displaystyle{ v }[/math] всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса ([math]\displaystyle{ \vec{p} = m\vec{v} }[/math]) данное выражение примет вид [math]\displaystyle{ \ T = p^2/2m }[/math].

Если [math]\displaystyle{ \vec{F} }[/math] — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как [math]\displaystyle{ \vec F = m \vec a }[/math]. Скалярно умножив его на перемещение материальной точки [math]\displaystyle{ {\rm d} \vec s = \vec v {\rm d}t }[/math] и учитывая, что [math]\displaystyle{ \vec a = {\rm d}\vec{v}/{\rm d}t }[/math], причём [math]\displaystyle{ {\rm d}(v^2)/{\rm d}t = {\rm d}(\vec{v}\cdot\vec{v})/{\rm d}t = 2\vec{v}\cdot{\rm d}\vec{v}/{\rm d}t }[/math], получим [math]\displaystyle{ \ \vec F {\rm d} \vec s = {\rm d} (m v^2/2) = {\rm d} T }[/math].

Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина [math]\displaystyle{ \ T }[/math] остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения.

Случай абсолютно твёрдого тела

При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя формулу Кёнига, в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и вращательного движения:

[math]\displaystyle{ T = \frac{M v^2}{2}+\frac{I \omega^2}{2}. }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \ M }[/math] — масса тела, [math]\displaystyle{ \ v }[/math] — скорость центра масс, [math]\displaystyle{ \vec \omega }[/math] и [math]\displaystyle{ I }[/math] — угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс[12].

Кинетическая энергия в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа [math]\displaystyle{ \rho = {\rm d}M/{\rm d}V }[/math]. Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью [math]\displaystyle{ \vec{v} }[/math], то есть плотность кинетической энергии [math]\displaystyle{ w_T = {\rm d}T/{\rm d}V }[/math] (Дж/м3), запишется:

[math]\displaystyle{ w_T = \rho \frac{v_{\alpha} v_{\alpha}}{2}, }[/math]

где по повторяющемуся индексу [math]\displaystyle{ {\alpha} = x, y, z }[/math], означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса[13]. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить [math]\displaystyle{ \ \rho = \overline {\rho} + \rho' }[/math], [math]\displaystyle{ v_{\alpha} = \overline {v_{\alpha}} + v'_{\alpha} }[/math], где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:

[math]\displaystyle{ \overline{w_T} = \frac{1}{2} \overline{\rho v_{\alpha} v_{\alpha}} = E_s + E_{st} + E_t, }[/math]

где [math]\displaystyle{ E_s= \overline{\rho} \, \overline{v_{\alpha}} \, \overline{ v_{\alpha}}/2 }[/math] — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, [math]\displaystyle{ E_t= \overline{\rho}\,\overline{v'_{\alpha} \, v'_{\alpha}}/2 + \overline{\rho' v'_{\alpha} v'_{\alpha}}/2 }[/math] — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («плотность кинетической энергии турбулентности»[13], часто называемой просто «энергией турбулентности»), а [math]\displaystyle{ E_{st}= S_{\alpha}\overline{v_{\alpha}} }[/math] — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества ([math]\displaystyle{ S_{\alpha} = \overline{\rho' v'_{\alpha}} }[/math] — плотность флуктуационного потока массы, или «плотность турбулентного импульса»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при преобразовании Галилея: кинетическая энергия упорядоченного движения [math]\displaystyle{ E_s }[/math] зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности [math]\displaystyle{ E_t }[/math] от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

Кинетическая энергия в квантовой механике

В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор, записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором ([math]\displaystyle{ \hat{p}= -j\hbar\nabla }[/math], [math]\displaystyle{ \ j }[/math] — мнимая единица):

[math]\displaystyle{ \hat{T}= \frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta }[/math]

где [math]\displaystyle{ \hbar }[/math] — редуцированная постоянная Планка, [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] — оператор набла, [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера[14].

Кинетическая энергия в релятивистской механике

Зависимости от скорости кинетической энергии в классическом и релятивистском случаях для массы в 1 кг

Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как:

[math]\displaystyle{ T = \frac{m c^2}{\sqrt{1- v^2/c^2 }}-m c^2, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \ m }[/math] — масса покоя,
[math]\displaystyle{ \ v }[/math] — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,
[math]\displaystyle{ \ c }[/math] — скорость света в вакууме ([math]\displaystyle{ m c^2 }[/math] — энергия покоя).

Или выражение для кинетической энергии в виде ряда Маклорена:

[math]\displaystyle{ T = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{3}{8}\frac{m v^4}{c^2} + \cdots, }[/math]

При скоростях много меньших скорости света ([math]\displaystyle{ v \ll c }[/math]) пренебрегаем членами разложения с высшими степенями и выражение для [math]\displaystyle{ \ T }[/math] переходит в классическую формулу [math]\displaystyle{ \ T \approx 1/2\cdot mv^2 }[/math].

Как и в классическом случае, имеет место соотношение [math]\displaystyle{ \ \vec F {\rm d} \vec s = {\rm d} T }[/math], получаемое посредством умножения на [math]\displaystyle{ {\rm d} \vec s = \vec v {\rm d}t }[/math] выражения второго закона Ньютона (в виде [math]\displaystyle{ \ \vec F = m\cdot {\rm d}(\vec v /\sqrt{1-v^2/c^2})/{\rm d}t }[/math]).

Свойства кинетической энергии

  • Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему[1].
  • Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки и направления её скорости, а зависит лишь от модуля скорости или от квадрата её скорости[1].
  • Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
  • Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея[1]. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии[15][16].

Физический смысл кинетической энергии

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии[2]:

[math]\displaystyle{ \ A_{12} = T_2 - T_1. }[/math]

Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения [math]\displaystyle{ \ \vec F {\rm d} \vec s = {\rm d} T }[/math] между состояниями 1 и 2).

Соотношение кинетической и внутренней энергии

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — постоянная Больцмана.

См. также

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Айзерман, 1980, с. 49.
  2. ↑ 2,0 2,1 Сивухин Д. В. § 22. Работа и кинетическая энергия. // Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 131. — 520 с.
  3. ↑ Тарг С. М. Кинетическая энергия // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 360. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  4. ↑ Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. 3.2. Кинематика релятивистских частиц // Современная электродинамика, часть 1. Микроскопическая теория. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — С. 238. — 736 с. — 1000 экз. — ISBN 5-93972-164-8.
  5. ↑ Brenner, Joseph. Logic in Reality. — illustrated. — Springer Science & Business Media, 2008. — P. 93. — ISBN 978-1-4020-8375-4. Архивная копия от 25 января 2020 на Wayback Machine Extract of page 93 Архивировано 4 августа 2020 года.
  6. ↑ Мах Э.  Механика. Историко-критический очерк её развития. — Ижевск: «РХД», 2000. — С. 252. — 456 с. — ISBN 5-89806-023-5.
  7. ↑ Judith P. Zinsser. Emilie Du Châtelet : daring genius of the Enlightenment. — New York, N.Y.: Penguin Books, 2007. — viii, 376 pages, 16 unnumbered pages of plates с. — ISBN 0-14-311268-6, 978-0-14-311268-6.
  8. ↑ Crosbie Smith. Energy and empire : a biographical study of Lord Kelvin. — Cambridge [Cambridgeshire]: Cambridge University Press, 1989. — xxvi, 866 pages с. — ISBN 0-521-26173-2, 978-0-521-26173-9. Архивная копия от 25 января 2022 на Wayback Machine
  9. ↑ John Theodore Merz. A history of European thought in the nineteenth century. — Gloucester, Mass.: Peter Smith, 1976. — 4 volumes с. — ISBN 0-8446-2579-5, 978-0-8446-2579-9.
  10. ↑ William John Macquorn Rankine. XVIII. On the general law of the transformation of energy // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. — 1853-02. — Т. 5, вып. 30. — С. 106–117. — ISSN 1941-5990 1941-5982, 1941-5990. — doi:10.1080/14786445308647205.
  11. ↑ W.J. Macquorn Rankine. XIII. On the phrase “Potential energy,” and on the definitions of physical quantities // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. — 1867-02. — Т. 33, вып. 221. — С. 88–92. — ISSN 1941-5990 1941-5982, 1941-5990. — doi:10.1080/14786446708639753.
  12. ↑ Голубева О. В. Теоретическая механика. — М.: «Высшая школа», 1968. — С. 243—245. Архивная копия от 23 августа 2017 на Wayback Machine
  13. ↑ 13,0 13,1 Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
  14. ↑ Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики Архивная копия от 15 февраля 2022 на Wayback Machine, 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с., см. § 26.
  15. ↑ Айзерман, 1980, с. 54.
  16. ↑ Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» Архивная копия от 1 января 2015 на Wayback Machine // УФН, 59, с. 325—362, (1956)

Литература

  • Айзерман М. А. Классическая механика. — М.: Наука, 1980. — 368 с.
  • Фриш С. Э. Курс общей физики. В 3-х тт. Т.1. Физические основы механики. Молекулярная физика. Колебания и волны. 13-е изд. — СПб.: Лань, 2010. — 480 с. — ISBN 978-5-8114-0663-0.
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. 5-е изд. — М.: Физматлит, 2006. — 560 с. — ISBN 5-9221-0715-1.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Кинетическая_энергия&oldid=19188267