Интерполяция
- О функции, см.: Интерполянт.
Интерполя́ция, интерполи́рование (от лат. inter–polis — «разглаженный, подновлённый, обновлённый; преобразованный») — в вычислительной математике нахождение неизвестных промежуточных значений некоторой функции, по имеющемуся дискретному набору её известных значений, определенным способом. Термин «интерполяция» впервые употребил Джон Валлис в своём трактате «Арифметика бесконечных» (1656).
В функциональном анализе интерполяция линейных операторов представляет собой раздел, рассматривающий банаховы пространства как элементы некоторой категории[1].
Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.
Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса — Торина и теорема Марцинкевича, являющиеся основой для множества других работ.
Определения
Рассмотрим систему несовпадающих точек [math]\displaystyle{ x_i }[/math] ([math]\displaystyle{ i\in{0,1,\dots,N} }[/math]) из некоторой области [math]\displaystyle{ D }[/math]. Пусть значения функции [math]\displaystyle{ f }[/math] известны только в этих точках:
- [math]\displaystyle{ y_i = f(x_i),\quad i=1,\ldots,N. }[/math]
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции [math]\displaystyle{ F }[/math] из заданного класса функций, что
- [math]\displaystyle{ F(x_i) = y_i,\quad i=1,\ldots,N. }[/math]
- Точки [math]\displaystyle{ x_i }[/math] называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
- Пары [math]\displaystyle{ (x_i,y_i) }[/math] называют точками данных или базовыми точками.
- Разность между «соседними» значениями [math]\displaystyle{ \Delta x_i=x_i-x_{i-1} }[/math] — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.
- Функцию [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] — интерполирующей функцией или интерполянтом.
Пример
1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений [math]\displaystyle{ x }[/math] определяет соответствующие значения [math]\displaystyle{ f }[/math]:
| [math]\displaystyle{ x }[/math] | [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 0,8415 |
| 2 | 0,9093 |
| 3 | 0,1411 |
| 4 | −0,7568 |
| 5 | −0,9589 |
| 6 | −0,2794 |
Интерполяция помогает нам узнать, какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных точек (например, при x = 2,5).
К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.
2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).
| 6000 | 15.5 |
| 6378 | ? |
| 8000 | 19.2 |
[math]\displaystyle{ ?=15.5+\frac{(6378-6000)}{8000-6000}* \frac{(19.2-15.5)}{1}=16.1993 }[/math]
Способы интерполяции
Интерполяция методом ближайшего соседа
Простейшим способом интерполяции является интерполяция методом ближайшего соседа.
Интерполяция многочленами
На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).
- Линейная интерполяция
- Интерполяционная формула Ньютона
- Метод конечных разностей
- ИМН-1 и ИМН-2
- Многочлен Лагранжа (интерполяционный многочлен)
- Схема Эйткена
- Сплайн-функция
- Кубический сплайн
Обратное интерполирование (вычисление x при заданной y)
- Полином Лагранжа
- Обратное интерполирование по формуле Ньютона
- Обратное интерполирование по формуле Гаусса
Интерполяция функции нескольких переменных
Другие способы интерполяции
Смежные концепции
- Экстраполяция — методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
- Ретрополяция — методы нахождения по известным значениям переменной её неизвестных значений в начале динамического ряда.
- Аппроксимация — методы построения приближённых кривых
См. также
- Интерполяционные формулы
- Регрессия (математика)
- Метод наименьших квадратов
- Сглаживание данных эксперимента
Примечания
- ↑ Берг, 1980, с. 6—7.
Литература
- Й. Берг, Й. Лёфстрём. Интерполяционные пространства. Введение. — М.: Мир, 1980. — 264 с.
- Ибрагимов И. И. Методы интерполяций функций и некоторые их применения. — М.: Высшая школа, 1971. — 520 c.
- Уолш Дж. Л.?! Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. — М.: Иностранная литература, 1961. — 508 c.
- Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. — М.: Мир, 1980. — 664 c.