Граница (топология)
Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.
Определение
Пусть дано топологическое пространство [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math], где [math]\displaystyle{ X }[/math] — произвольное множество, а [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] — определённая на [math]\displaystyle{ X }[/math] топология. Пусть рассматривается множество [math]\displaystyle{ A\subset X. }[/math] Тогда точка [math]\displaystyle{ x_0\in X }[/math] называется грани́чной то́чкой мно́жества [math]\displaystyle{ A }[/math], только если для любой её окрестности [math]\displaystyle{ U\ni x_0, }[/math] целиком лежащей в этом топологическом пространстве, справедливо:
- [math]\displaystyle{ U \cap A \neq \varnothing }[/math] и одновременно с этим [math]\displaystyle{ U \cap A^{\complement} \neq \varnothing. }[/math]
Множество всех граничных точек множества [math]\displaystyle{ A }[/math] называется границей множества [math]\displaystyle{ A }[/math] (в [math]\displaystyle{ X }[/math]) и обозначается [math]\displaystyle{ \partial A }[/math] или [math]\displaystyle{ \partial_X A }[/math] если необходимо подчеркнуть, что граница рассматривается относительно объемлющего пространства [math]\displaystyle{ X }[/math].
Свойства
- [math]\displaystyle{ \partial A = \partial \left(A^{\complement}\right); }[/math]
- [math]\displaystyle{ \partial A = \bar{A} \setminus A^\circ; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \partial A }[/math] — замкнутое множество;
- [math]\displaystyle{ A }[/math] — открытое множество тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ A \cap \partial A = \emptyset; }[/math]
- [math]\displaystyle{ A }[/math] — замкнутое множество тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \partial A \subset A; }[/math]
- [math]\displaystyle{ A }[/math] — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \partial A = \emptyset; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \partial \partial A \subset \partial A }[/math], причем равенство [math]\displaystyle{ \partial \partial A = \partial A }[/math] достигается тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ (\partial A)^\circ = \emptyset; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \partial \partial \partial A = \partial \partial A. }[/math]
Примеры
Рассмотрим числовую прямую [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] со стандартной топологией. Тогда: для [math]\displaystyle{ -\infty \lt a \lt b \lt +\infty }[/math]:
- Для [math]\displaystyle{ -\infty \lt a \lt b \lt +\infty }[/math]: [math]\displaystyle{ \partial_\R (a,b) = \partial_\R (a,b] = \partial_\R [a,b) = \partial_\R [a,b] = \{a,b\}; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \partial_\R \mathbb{R} = \varnothing; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \partial_\R \mathbb{Q} = \mathbb{R}. }[/math]
При этом очень существенно, относительно какого объемлющего топологического пространства рассматривается граница множества.
Например, дана стандартная топология на [math]\displaystyle{ \R^2. }[/math] Тогда граница открытого круга [math]\displaystyle{ \{(x,y)\in\R^2\colon x^2+y^2\lt 1\} }[/math] относительно этой топологии равна окружности [math]\displaystyle{ \{(x,y)\in\R^2\colon x^2+y^2=1\}, }[/math] потому что окрестность, с помощью понятия которой и определяется граница множества, является плоской фигурой (окрестностью может служить, например, круг с любым ненулевым радиусом) и для того, чтобы любая окрестность граничной точки могла пересекаться как с кругом [math]\displaystyle{ \{(x,y)\in\R^2\colon x^2+y^2\lt 1\}, }[/math] так и с его дополнением [math]\displaystyle{ \{(x,y)\in\R^2\colon x^2+y^2\geqslant1\}, }[/math] граничная точка должна быть на окружности [math]\displaystyle{ \{(x,y)\in\R^2\colon x^2+y^2=1\}. }[/math]
Если же рассмотреть стандартную топологию на [math]\displaystyle{ \R^3, }[/math] то границей открытого круга [math]\displaystyle{ \{(x,y,0)\in\R^3\colon x^2+y^2\lt 1\} }[/math] будет замкнутый круг [math]\displaystyle{ \{(x,y,0)\in\R^3\colon x^2+y^2\leqslant1\}, }[/math] поскольку внутри [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math] окрестность является уже 3-мерной фигурой (допустим, шаром), а дополнением круга [math]\displaystyle{ \{(x,y,0)\in\R^3\colon x^2+y^2\lt 1\} }[/math] относительно [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math] уже является [math]\displaystyle{ \{(x,y,0)\in\R^3\colon x^2+y^2\geqslant1\}\cup\R^2\times(\R\setminus\{0\}) }[/math]. Соответственно, в таком случае под определение граничной точки открытого круга [math]\displaystyle{ \{(x,y,0)\in\R^3\colon x^2+y^2\lt 1\} }[/math] уже будет попадать не только любая точка окружности [math]\displaystyle{ \{(x,y,0)\in\R^3\colon x^2+y^2=1\}, }[/math] но и любая точка исходного множества [math]\displaystyle{ \{(x,y,0)\in\R^3\colon x^2+y^2\lt 1\}. }[/math]