Геометрическое распределение

Шаблон:Вероятностное распределение 2 Под Геометри́ческим распределе́нием в теории вероятностей подразумевают одно из двух распределений дискретной случайной величины:

• распределение вероятностей случайной величины [math]\displaystyle{ X }[/math] равной номеру первого «успеха» в серии испытаний Бернулли и принимающей значения [math]\displaystyle{ n = 1,2,3,... }[/math];
• распределение вероятностей случайной величины [math]\displaystyle{ Y = X-1 }[/math] равной числу «неудач» до первого «успеха» и принимающей значения [math]\displaystyle{ n = 0,1,2,... }[/math].

Определение

• Говорят, что случайная величина [math]\displaystyle{ X }[/math] имеет геометрическое распределение с параметром [math]\displaystyle{ p \in (0,1) }[/math], и пишут [math]\displaystyle{ \mathrm{Geom}_1(p) }[/math], если принимает значения [math]\displaystyle{ n = 1,2,3,... }[/math] с вероятностями [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(X = n) = (1-p)^{n-1}p }[/math]. Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха [math]\displaystyle{ p }[/math].

• Пусть [math]\displaystyle{ Z_1 ,\ldots, Z_n,\ldots }[/math] — бесконечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

[math]\displaystyle{ Z_i = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & q \equiv 1-p \end{matrix} \right.,\; i=1,2,\ldots }[/math].

Построим случайную величину [math]\displaystyle{ Y = \min \left\{ i \mid Z_i = 1 \right\} - 1 }[/math] — число «неудач» до первого «успеха». Распределение случайной величины [math]\displaystyle{ Y }[/math] называется геометрическим с вероятностью «успеха» [math]\displaystyle{ p }[/math], что обозначается следующим образом: [math]\displaystyle{ Y \sim \mathrm{Geom}_0(p) }[/math]. Функция вероятности случайной величины [math]\displaystyle{ Y }[/math] имеет вид: [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(Y = n) = q^n p,\; n=0,1,2,\ldots }[/math].

Замечание

• Иногда полагают по определению, что [math]\displaystyle{ X }[/math] — номер первого «успеха». Тогда функция вероятности принимает форму [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(X = n) = q^{n-1} p, \; }[/math] где [math]\displaystyle{ n = 1,2,3,\ldots }[/math]. В таблице справа приведены формулы для обоих вариантов.
• Функция вероятности является геометрической прогрессией, откуда и происходит название распределения.

Моменты

Пусть [math]\displaystyle{ X \sim \mathrm{Geom}_1(p) }[/math] и [math]\displaystyle{ Y \sim \mathrm{Geom}_0(p) }[/math]. Тогда производящая функция моментов геометрического распределения имеет вид:

[math]\displaystyle{ M_Y(t) = \frac{pe^t}{1-qe^t} }[/math],

откуда

[math]\displaystyle{ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{p} }[/math],

[math]\displaystyle{ \mathrm{D}[X] = \frac{q}{p^2} }[/math].

Справедливо, что [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[X-1] = \frac{1}{p} - 1 = \frac{1-p}{p} = \frac{q}{p} }[/math].

Свойства геометрического распределения

• Из всех дискретных распределений с носителем [math]\displaystyle{ \{1,2,3,\dots\} }[/math] и фиксированным средним [math]\displaystyle{ \mu \gt 1 }[/math] геометрическое распределение [math]\displaystyle{ \mathrm{Geom}(1/\mu) }[/math] является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.
• Если [math]\displaystyle{ X_1,\ldots, X_n }[/math] независимы и [math]\displaystyle{ X_i \sim \mathrm{Geom}(p_i),\; i=1,\ldots,n }[/math], то

[math]\displaystyle{ X = \min\limits_i (X_i) \sim \mathrm{Geom}\left(1 - \prod\limits_{i=1}^n (1-p_i)\right) }[/math].

• Геометрическое распределение бесконечно делимо.

Отсутствие памяти

Если [math]\displaystyle{ X\sim \mathrm{Geom}(p) }[/math], то [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(X \gt m + n \mid X \geq m ) = \mathbb{P}(X\gt n)\;, \forall m,n \in \mathbb{N}\cup \{0\} }[/math], то есть число прошлых «неудач» не влияет на число будущих «неудач».

Геометрическое распределение — это единственное дискретное распределение со свойством отсутствия памяти.

Связь с другими распределениями

• Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения: [math]\displaystyle{ \mathrm{Geom}(p) \equiv \mathrm{NB}(1,p) }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ Y_1,\ldots, Y_n }[/math] независимы и [math]\displaystyle{ Y_i \sim \mathrm{Geom}(p),\; i=1,\ldots,n }[/math], то

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{NB}(n,p) }[/math].

• Если в отрицательном биномиальном распределении параметр r=1, то отрицательное биномиальное распределение становится геометрическим распределением. Последнее распределение является распределением Бозе-Эйнштейна для одного источника (a single source)

Пример

Пусть игральная кость кидается до выпадания первой шестёрки.

• Рассчитайте вероятность того, что число испытаний, проводимых до первого успеха, включая последнее, успешное испытание будет не больше трёх.

Положим [math]\displaystyle{ X \sim \mathrm{Geom}_1(p = 1/6) }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ \mathbb{P}(X \le 3) = \mathbb{P}(X=1) + \mathbb{P}(X = 2) + \mathbb{P}(X=3) = }[/math]

[math]\displaystyle{ = \left(\frac{5}{6}\right)^{\!0} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^{\!1} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^{\!2} \left(\frac{1}{6}\right) \approx 0{,}42 }[/math].

• Рассчитайте вероятность того, что число «неудач» до первого «успеха» будет не больше двух.

Положим [math]\displaystyle{ Y \sim \mathrm{Geom}_0(p = 1/6) }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ \mathbb{P}(Y \le 2) = \mathbb{P}(Y=0) + \mathbb{P}(Y = 1) + \mathbb{P}(Y=2)= }[/math]

[math]\displaystyle{ = \left(\frac{5}{6}\right)^0 \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^1 \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^2 \left(\frac{1}{6}\right) \approx 0{,}42 }[/math].

См. также

• Биномиальное распределение.