Гамма-распределение

Гамма распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	[math]\displaystyle{ \Gamma(k, \theta) }[/math] или [math]\displaystyle{ \Gamma(\alpha, \beta) }[/math]
Параметры	[math]\displaystyle{ k \gt 0, \; \theta \gt 0 }[/math]
Носитель	[math]\displaystyle{ x \in (0, \infty) }[/math]
Плотность вероятности	[math]\displaystyle{ \frac{1}{\Gamma(k) \theta^k} x^{k - 1} e^{-\frac{x}{\theta}} }[/math]
Функция распределения	[math]\displaystyle{ \frac{1}{\Gamma(k)} \gamma\left(k, \frac{x}{\theta}\right) }[/math]
Математическое ожидание	[math]\displaystyle{ k \theta }[/math]
Медиана	Отсутствует явное выражение в замкнутой форме
Мода	[math]\displaystyle{ (k - 1)\theta }[/math] при [math]\displaystyle{ k \geq 1 }[/math]
Дисперсия	[math]\displaystyle{ k \theta^2 }[/math]
Коэффициент асимметрии	[math]\displaystyle{ \frac{2}{\sqrt{k}} }[/math]
Коэффициент эксцесса	[math]\displaystyle{ \frac{6}{k} }[/math]
Дифференциальная энтропия	[math]\displaystyle{ \begin{align} k &+ \ln\theta + \ln\Gamma(k)\\ &+ (1 - k)\psi(k) \end{align} }[/math]
Производящая функция моментов	[math]\displaystyle{ (1 - \theta t)^{-k} }[/math] при [math]\displaystyle{ t \lt \frac{1}{\theta} }[/math]
Характеристическая функция	[math]\displaystyle{ (1 - \theta it)^{-k} }[/math]

Га́мма-распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр [math]\displaystyle{ k }[/math] принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Определение

Пусть распределение случайной величины [math]\displaystyle{ X }[/math] задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

[math]\displaystyle{ f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}, & x \ge 0 \\ 0, & x \lt 0 \end{matrix} \right., }[/math] где [math]\displaystyle{ \Gamma (k) }[/math] — гамма-функция Эйлера.

Тогда говорят, что случайная величина [math]\displaystyle{ X }[/math] имеет гамма-распределение с положительными параметрами [math]\displaystyle{ \theta }[/math] и [math]\displaystyle{ k }[/math]. Пишут [math]\displaystyle{ X \thicksim \Gamma(k, \theta) }[/math].

Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг.

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины [math]\displaystyle{ X }[/math], имеющей гамма-распределение, имеют вид

[math]\displaystyle{ \mathbb{E}[X] = k{\theta} }[/math],

[math]\displaystyle{ \mathbb{D}[X] = k{\theta^2} }[/math].

Свойства гамма-распределения

• Если [math]\displaystyle{ X_1,\ldots, X_n }[/math] — независимые случайные величины, такие что [math]\displaystyle{ X_i \sim \Gamma( k_i, \theta),\; i = 1,\ldots, n }[/math], то

[math]\displaystyle{ Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma\left( \sum_{i=1}^n k_i, \theta \right) }[/math].

• Если [math]\displaystyle{ X \thicksim \Gamma(k,\theta) }[/math], и [math]\displaystyle{ a \gt 0 }[/math] — произвольная константа, то

[math]\displaystyle{ aX \thicksim \Gamma(k, a \theta) }[/math].

• Гамма-распределение бесконечно делимо.

Связь с другими распределениями

• Гамма-распределение является распределением Пирсона типа III.
• Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

[math]\displaystyle{ \Gamma(1, 1/\lambda) \equiv \mathrm{Exp}(\lambda) }[/math].

• Если [math]\displaystyle{ X_1,\ldots,X_k }[/math] — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что [math]\displaystyle{ X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda),\; i = 1,\ldots, k }[/math], то

[math]\displaystyle{ Y = \sum\limits_{i=1}^k X_i \sim \Gamma(k, 1/\lambda) }[/math].

• Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения:

[math]\displaystyle{ \Gamma\left(\frac{n}{2}, 2\right) \equiv \chi^2(n) }[/math].

• Согласно центральной предельной теореме, при больших [math]\displaystyle{ k }[/math] гамма-распределение может быть приближено нормальным распределением:

[math]\displaystyle{ \Gamma(k, \theta) \approx \mathrm{N}(k\theta, k\theta^2) }[/math] при [math]\displaystyle{ k \to \infty }[/math].

• Если [math]\displaystyle{ X_1,X_2 }[/math] — независимые случайные величины, такие что [math]\displaystyle{ X_i \sim \Gamma(k_i,1),\; i=1,2 }[/math], то

[math]\displaystyle{ \frac{X_1}{X_1+X_2} \sim \mathrm{\Beta}(k_1,k_2) }[/math].

• Распределение Рэлея заменой переменной сводится к гамма-распределению.
• Обычное распределение Вейбулла заменой переменной сводится к гамма-распределению.
• Распределение Накагами заменой переменной сводится к гамма-распределению.
• Естественным обобщением гамма-распределения является усеченное гамма-распределение.

Моделирование гамма-величин

Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.

Используя тот факт, что распределение [math]\displaystyle{ \Gamma (1, 1) }[/math] совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то [math]\displaystyle{ {-\ln U} \sim \Gamma (1, 1) }[/math].

Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n {-\ln U_i} \sim \Gamma (n,1), }[/math]

где U_i — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.

Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.

1. Положить m равным 1.
2. Сгенерировать [math]\displaystyle{ V_{2m - 1} }[/math] и [math]\displaystyle{ V_{2m} }[/math] — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
3. Если [math]\displaystyle{ V_{2m - 1} \le v_0 }[/math], где [math]\displaystyle{ v_0 = \frac e {e + \delta} }[/math], перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
4. Положить [math]\displaystyle{ \xi_m = \left( \frac {V_{2m - 1}} {v_0} \right) ^{\frac 1 \delta}, \ \eta_m = V_{2m} \xi _m^ {\delta - 1} }[/math]. Перейти к шагу 6.
5. Положить [math]\displaystyle{ \xi_m = 1 - \ln {\frac {V_{2m - 1} - v_0} {1 - v_0}}, \ \eta_m = V_{2m} e^{-\xi_m} }[/math].
6. Если [math]\displaystyle{ \eta_m \gt \xi_m^{\delta - 1} e^{-\xi_m} }[/math], то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
7. Принять [math]\displaystyle{ \xi = \xi_m }[/math] за реализацию [math]\displaystyle{ \Gamma (\delta, 1) }[/math].

Подытожим:

[math]\displaystyle{ \theta \left( \xi - \sum _{i=1} ^{[k]} {\ln U_i} \right) \sim \Gamma ( k, \theta), }[/math]

где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); U_i и V_l распределены как указано выше и попарно независимы.

Литература

• Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. — М.: Бином, 2009. — 472 с.
• Жуковский М.Е., Родионов И.В. Основы теории вероятностей. — М.: МФТИ, 2015. — 82 с.
• Жуковский М.Е., Родионов И.В., Шабанов Д.А. Введение в математическую статистику. — М.: МФТИ, 2017. — 109 с.
• Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.