Воеводский, Владимир Александрович

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
В Руниверсалис есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Воеводский.
Владимир Александрович Воеводский
VladimirVoevodsky.jpg
Дата рождения 4 июня 1966(1966-06-04)
Место рождения Москва, СССР
Дата смерти 30 сентября 2017(2017-09-30) (51 год)
Место смерти Принстон, Нью-Джерси
Страна  СССР,  США
Научная сфера алгебраическая геометрия, топология, теория Галуа и основания математики
Место работы Институт перспективных исследований
Альма-матер мехмат МГУ, Гарвардский университет
Учёная степень доктор философии
Учёное звание профессор
Научный руководитель Давид Каждан
Награды и премии Филдсовская премия (2002)

Владимир Александрович Воеводский (4 июня 1966, Москва — 30 сентября 2017, Принстон, Нью-Джерси) — советский, российский и американский математик, внёсший значительный вклад в алгебраическую геометрию и основания математики. Лауреат Филдсовской премии (2002), постоянный профессор Института перспективных исследований.

Среди основных результатов на стыке алгебраической геометрии и алгебраической топологии — построение теории мотивных когомологий[en] и доказательство её средствами гипотезы Милнора[en] и гипотезы Блоха — Като[en], составлявших существенную проблемную часть алгебраической [math]\displaystyle{ K }[/math]-теории[en][⇨]. В области оснований математики инициировал и внёс решающий вклад в программу создания унивалентных оснований математики — формального языка для абстрактных разделов математики, обеспечивающего автоматическую проверку доказательств на компьютере[⇨].

Биография

Родился в семье учёных — выпускников МГУ, отец — астрофизик, лауреат Государственной премии за работы по созданию Баксанской нейтринной обсерватории (1998)[1], мать — химик, специалист по ядерному магнитному резонансу. Раннее детство провёл в коммунальной квартире на площади Ногина, впоследствии семья переселилась в отдельную квартиру в Малом Ивановском переулке[2].

В старших классах сменил несколько школ, аттестат о среднем образовании получил в 1983 году, в формировании строгого и точного математического мышления отмечал влияние учебника по геометрии под редакцией Колмогорова[3][2]. В том же году поступил на механико-математический факультет МГУ. Получив из-за сильной аллергии «белый билет» — освобождение от срочной воинской службы, отсрочку от которой не предоставляли прервавшим обучение в вузе, взял академический отпуск, после возвращения из которого был отчислен, но впоследствии восстановился[4].

Во время учёбы в университете увлёкся алгебраической геометрией, в числе причин указывал на работу в этой области таких интересных людей, как Игорь Шафаревич[2]. Во время академического отпуска подрабатывал преподавателем программирования на учебно-производственном комбинате, там встретился с Георгием Шабатом. Шабат познакомил Воеводского с Программой Гротендика, к которой впоследствии неоднократно обращался в своём творчестве, к осмыслению и развитию идей программы относятся и первые научные исследования Воеводского, проведённые совместно с Шабатом и вылившиеся в ряд публикаций[5][6], одна из которых получила одобрение Гротендика. В 1989 году, по результатам I семестра четвёртого курса, несмотря на наличие опубликованных работ в ведущих журналах, окончательно отчислен из университета за академическую неуспеваемость[4].

В 1989—1990 годы опубликовал несколько работ вместе с Михаилом Капрановым, вскоре иммигрировавшим в США. В 1990 году Капранов заполнил за Воеводского заявку на поступление в аспирантуру Гарвардского университета, и, несмотря на формальное отсутствие высшего образования, тот был принят[7]. Квалификационный экзамен, на сдачу которого отводятся первые три года обучения в аспирантуре, сдал уже через месяц после поступления, благодаря чему был освобождён от занятий и смог сконцентрироваться на исследовательской работе[4]. Находясь в аспирантуре постоянно нарушал регламенты: уезжал в Россию на 4 месяца, жил прямо в офисе, отказываясь снять жильё, при этом руководство факультета во всех случаях содействовало сохранению перспективного учёного в Гарварде. Докторскую диссертацию на тему «Гомологии схем и ковариантных мотивов» защитил в 1992 году под руководством Давида Каждана.

По окончании аспирантуры прошёл годичную постдокторантуру в принстонском Институте перспективных исследований, после чего вернулся в Гарвард и три года состоял в Обществе стипендиатов (англ. Society of fellows), в которое ежегодно набирают 8 выпускников аспирантур и предоставляют возможность сфокусироваться на исследованиях, не отвлекаясь на преподавание[4].

В 1995 году женился на математике Надежде Шалаби (род. 1966), в браке, который завершился разводом в 2008 году, родились двое дочерей (Тали и Дина).

С 1996 по 1999 год работал в должности ассоциированного профессора в Северо-Западном университете, где сотрудничал с крупнейшими специалистами по алгебраической [math]\displaystyle{ K }[/math]-теории Андреем Суслиным и Эриком Фридландером[en], также в течение этого периода был приглашённым профессором в Институте Макса Планка и в Гарварде. В 1998 году прочёл пленарный доклад «Теория [math]\displaystyle{ \mathbf A^1 }[/math]-гомотопий» на Международном конгрессе математиков в Берлине[8].

В 1998 году приглашён на постоянную позицию в Институт перспективных исследований; в январе 2002 года, за несколько месяцев до награждения медалью Филдса, получил должность пожизненного профессора института. Во время работы в Принстоне обращался к математической биологии в части исторической генетики и к теории вероятностей, работая над переформулировкой её на языке теории категорий[9], считая важным внести вклад в приложения, а в период 2005—2006 годов полностью выключился из академической деятельности. В 2006 году опубликовал первые заметки по возможностям применения геометрических понятий к теории типов[10][11], и, после окончательного доказательства гипотезы Блоха — Като в 2010 году, полностью погрузился в новое направление, выдвинув программу унивалентных оснований. К программе постепенно подключился значительный коллектив специалистов по математической логике, теории категорий, системам автоматического доказательства. Академический год 2012/13 в Институте перспективных исследований по инициативе Воеводского был объявлен «годом унивалентных оснований», в рамках которого в сотрудничестве Воеводского, Ауди[en] и Кокана была открыта специальная исследовательская программа, собравшая около 30 учёных, совместно написавших за этот период 600-страничную книгу[12].

Умер у себя дома в Принстоне, обнаружен по обращению бывшей жены, которая некоторое время не могла с ним связаться и знала о тяжёлом заболевании; по её сообщениям, причиной смерти могла быть аневризма[13]. Похоронен 27 декабря 2017 года на Химкинском кладбище в Москве[14].

Научный вклад

Алгебраическая геометрия

В работах 1989—1990 годов по высшим группоидам, написанных в соавторстве с Капрановым, развил идею Гротендика о возможности описания CW-комплексов с гомотопической точки зрения как группоидов. В 1998 году Карлосом Симпсоном[en] построен контрпример к одной из основных конструкций этих работ[15], который Воеводский с Капрановым изначально не признали, и статья Симпсона не была принята в журналы; лишь в 2013 году Воеводский подтвердил доводы Симпсона.

В трудах периода гарвардской аспирантуры разработал конструкцию, в которой всякой схеме [math]\displaystyle{ S }[/math] соответствуют триангулируемая категория[en] [math]\displaystyle{ DM(S) }[/math] и ковариантный функтор из категории схем над [math]\displaystyle{ S }[/math] в [math]\displaystyle{ DM(S) }[/math]. Полученная конструкция обладает всеми свойствами теории гомологий, таким образом, выявлена новая возможность работать со схемами (и, в частности, с алгебраическими многообразиями) средствами алгебраической топологии.

Используя созданный в диссертации инструментарий подключился к решению ключевых проблем алгебраической [math]\displaystyle{ K }[/math]-теории и проработке деталей теории мотивных когомологий. В 1996—1998 годы совместно с Фабианом Морелем[fr] создал теорию [math]\displaystyle{ A^1 }[/math]-гомотопий[en], основная идея которой заменить в определении гомотопии единичный интервал [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] (не являющийся алгебраическим многообразием) аффинной прямой [math]\displaystyle{ A^1 }[/math] для возможности полной алгебраизации теории гомотопий. Этим работам посвящён пленарный доклад на Международном конгрессе математиков в 1998 году.

Теории мотивных когомологий в 2000 году Математической предметной классификации присвоен отдельный код 14F42 в составе подраздела «Теории гомологий и когомологий» в разделе «Алгебраическая геометрия». В 2010 году к этому же коду присоединена также теория [math]\displaystyle{ A^1 }[/math]-гомотопий под наименованием «теория мотивных гомотопий».

В 1996 году выпустил препринт с первым доказательством гипотезы Милнора, составлявшей основную проблему милноровой [math]\displaystyle{ K }[/math]-теории[en], согласно которой существует изоморфизм между кольцами Милнора [math]\displaystyle{ K_n^M(F)/2 }[/math] и [math]\displaystyle{ H_{\acute{e}t}^n(F, \Z/2\Z) }[/math] — группами этальных когомологий[en] с коэффициентами в [math]\displaystyle{ \Z/2\Z }[/math] для всякого поля [math]\displaystyle{ F }[/math] характеристики, отличной от 2, и любого целого [math]\displaystyle{ n }[/math]. В доказательстве, кроме собственных разработок и теории [math]\displaystyle{ A^1 }[/math]-гомотопий, существенно использованы результаты Меркурьева, Суслина, Фридландера и Роста[de]. Несмотря на всеобщее признание результата в конце 1990-х годов и получение Филдсовской премии за доказательство гипотезы, окончательный вариант, устраняющий все недочёты в доказательствах, был опубликован в 2003 году.

С конца 1990-х годов принялся за решение проблемы Блоха — Като, для которой гипотеза Милнора является частным случаем при [math]\displaystyle{ \ell=2 }[/math]. Несмотря на то, что подход к доказательству Воеводский, по собственному утверждению, выработал уже в конце 1996 года, проработка результата потребовала значительной подготовительной работы, как по линии алгебраической [math]\displaystyle{ K }[/math]-теории, так и мотивной теории когомологий. Лишь к концу 2000-х годов Суслину, Жуховицкому и Вейбелю удалось доказать необходимое обобщение результата Роста[16], а работу по развитию мотивной теории когомологий и соединение всех деталей доказательства Воеводский завершил в феврале 2010 года.

Основания математики

Ещё с середины 1990-х годов считал одной из угроз математики возможность накопления незамеченных ошибок из-за чрезвычайного усложнения современных направлений, и с 2002 года искал возможность применить системы автоматического доказательства к абстрактным разделам математики, но не находил удовлетворительных решений[17]. В конце 2005 года обнаружил возможность описания высших группоидов[en], средствами λ-исчисления с зависимыми типами, лежавшего в основе ряда систем автоматического доказательства, эксплуатирующих изоморфизм Карри — Ховарда об эквивалентности между компьютерными программами и математическими доказательствами[18]. Идеи применения интуиционистской теории типов к теории категорий и топологии публиковались с середины 1990-х годов, но не к высшим группоидам, которые, согласно Воеводскому, ссылающемуся в свою очередь на соответствие Гротендика, являются фундаментальными математическими объектами, и соответствуют гомотопическим типам.

К 2006 году относятся первые эксперименты Воеводского с системой Coq. В 2009 году решил основные технические проблемы на пути применения интуиционистской теории типов к высшим группоидам, прежде всего, разработав конструкцию для иерархии универсумов и постулировав аксиому унивалентности, утверждающую равенство между объектами, между которыми может быть установлена эквивалентность:

[math]\displaystyle{ (A = B) \simeq (A \simeq B) }[/math].

Хотя в математике традиционно множество результатов устанавливается для классов эквивалентных объектов, «с точностью до…» — изоморфизма, гомеоморфизма, гомотопии, — считается, что введение аксиомы унивалентности на уровне оснований стало революционным новшеством[19], кроме всего, обеспечивающим множество технических эффектов благодаря возможности избавиться в формализациях от громоздких конструкций с классами эквивалентностей. Ещё одной фундаментальной особенностью подхода Воеводского к основаниям считается объединение в рамках одной теории логических и математических понятий, где одни и те же конструкции могут быть наделены той или иной интерпретацией, в отличие от классического подхода, идущего от Гильберта и Тарского, где логика эпистемологически первична — вначале определяется логическая система, а потом её средствами строятся собственно математические теории[20].

С 2010 года приступил к разработке «Библиотеки унивалентных оснований»[21] — коллекции формальных описаний на Coq, позволяющих формулировать доказательства для абстрактных разделов математики, в течение трёх месяцев удалось построить систему с достаточно широким охватом[17]. В 2010 году в рамках запроса на грант подготовил программу разработки унивалентных оснований[22], в которой выделил следующие её возможности:

  • естественная аксиоматизация категорных и высшекатегорных языков,
  • применение языков зависимых типов,
  • прямая аксиоматизация понятий на основе гомотопических типов, без использования инструментария теории множеств,
  • применимость как для конструктивной так и неконструктивной математики.

В 2013 году, в рамках инициированного им совместно с Ауди[en] и Коканом в Институте перспективных исследований года унивалентных оснований, стал соавтором книги «Гомотопическая теория типов», впоследствии высказывал неудовлетворённость результатами, отмечая, что участники программы предлагали много странных идей[18]. В целом, несмотря на большое количество специалистов, подключившихся к программе создания унивалентных оснований, работал изолированно: развивал собственный проект библиотеки оснований[21], использующий специально разработанное безопасное подмножество Coq, тогда как участники исследовательской программы Института перспективных исследований вели работы стандартными средствами[23]. Кроме того, посвятил цикл из восьми работ 2014—2017 годов модельным вопросам и проблемам обоснования, разрабатывая теорию C-систем (контекстуальных категорий), притом что основная волна исследований направлена на расширение возможностей оснований и приложения[17].

Память

8 октября 2017 года в Институте перспективных исследований проведено собрание памяти учёного, на котором выступили близкие и коллеги учёного, в том числе Пьер Делинь, Ричард Тейлор, Давид Каждан[24]. 28 декабря 2017 года, на следующий день после отпевания и похорон в Москве, в Математическом институте Академии наук имени Стеклова прошла однодневная конференция памяти Воеводского[25].

По мнению сокурсника по Гарварду Михаила Вербицкого, Воеводский выведен в нескольких текстах писателя Баяна Ширянова и стал прототипом главного героя романа Николая Баранского «Путешествие в поисках истинной живости»[26].

Избранные публикации

Книги
Статьи

Примечания

  1. ↑ Указ Президента РФ за № 870 от 22 июля 1998 года
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Новосёлова, 2002.
  3. ↑ Примерно к этим же годам относится активная критика школьных учебников Колмогорова за излишнюю формальность изложения
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 Беляева, 2011.
  5. ↑ Воеводский В. А., Шабат Г. Б. Равносторонние триангуляции римановых поверхностей и кривые над полями алгебраических чисел // Доклады АН СССР. — 1989. — Т. 304, № 2. — С. 265—268.
  6. ↑ Voevodsky, V. A., and G. B. Shabat. Piece-Wise Euclidean Approximation of Jacobians of Algebraic Curves // CSTARCI Math. Preprints. — 1988.
  7. ↑ Kevin Hartnett. Visionary Mathematician Vladimir Voevodsky Dies at 51 (англ.). Quanta Magazine (11 октября 2017). Дата обращения: 27 октября 2017. Архивировано 28 октября 2017 года.
  8. ↑ V. Voevodsky. [math]\displaystyle{ \mathbf A^1 }[/math]-Homotopy Theory // Documenta Mathematica. — 1998. — Т. Extra (ICM), № I. — С. 579–604.
  9. ↑ В. А. Воеводский. Категорная вероятность. Общеинститутский семинар «Математика и её приложения» Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук (20 ноября 2008). Дата обращения: 29 декабря 2017. Архивировано 29 декабря 2017 года.
  10. ↑ Георгий Шабат, Андрей Родин, Анатолий Вершик. «Он готов был работать сутками без сна и еды». Троицкий вариант — наука, № 239 c. 16 (10 октября 2017). Дата обращения: 26 декабря 2017. Архивировано 27 декабря 2017 года.
  11. ↑ V. Voevodsky. A very short note on the homotopy λ-calculus. — 2006.
  12. ↑ Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. — Princeton: Institute for Advanced Study, 2013. — 603 p.
  13. ↑ Vladimir Voevodsky, Revolutionary Mathematician, Dies at 51. The New York Times (6 октября 2017). Дата обращения: 26 декабря 2017. Архивировано 9 февраля 2021 года.
  14. ↑ Memorial Events in Honor of Vladimir Voevodsky in Moscow, Russia (англ.). Institute of Advanced Study (26 декабря 2017). Дата обращения: 26 декабря 2017. Архивировано 26 декабря 2017 года.
  15. ↑ Carlos Simpson. Homotopy types of strict 3-groupoids // ArXiv.org.
  16. ↑ Михайлов, 2012.
  17. ↑ 17,0 17,1 17,2 Daniel R. Grayson. Vladimir Voevodsky (1966–2017). Mathematician who revolutionized algebraic geometry and computer proof. Nature (6 ноября 2017). doi:10.1038/d41586-017-05477-9. Дата обращения: 24 декабря 2017. Архивировано 10 июня 2020 года.
  18. ↑ 18,0 18,1 Hannes Hummel. Will Computers Redefine the Roots of Math?. When a legendary mathematician found a mistake in his own work, he embarked on a computer-aided quest to eliminate human error. To succeed, he has to rewrite the century-old rules underlying all of mathematics (англ.). Quanta Magazine (19 мая 2015). Дата обращения: 30 декабря 2017. Архивировано 30 декабря 2017 года.
  19. ↑ Steve Awodey, Álvaro Pelayo, Michael A. Warren. Voevodsky’s Univalence Axiom in Homotopy Type Theory (англ.) // Notices of the AMS. — 2013. — Vol. 60, no. 9. — P. 1164—1167.
  20. ↑ Андрей Родин. Логический и геометрический атомизм от Лейбница до Воеводского // Вопросы философии. — 2016. — № 6. — С. 134—142.
  21. ↑ 21,0 21,1 Проект «Библиотека унивалентных оснований» на сайте GitHub
  22. ↑ Vladimir Voevodsky. Univalent Foundations Project. (a modified version of an NSF grant application). Institute of Advanced Study (1 октября 2010). Дата обращения: 30 декабря 2017. Архивировано 7 мая 2020 года.
  23. ↑ Проект Воеводского в библиотеке UniMath на сайте GitHub
  24. ↑ Remembering Vladimir Voevodsky, 1966–2017 (англ.). IAS (8 октября 2017). Дата обращения: 27 декабря 2017. Архивировано 27 декабря 2017 года.
  25. ↑ Однодневная конференция, посвящённая памяти В. А. Воеводского. Общероссийский математический портал (27 декабря 2017). Дата обращения: 27 декабря 2017. Архивировано 27 декабря 2017 года.
  26. ↑ Михаил Вербицкий. Двухкубовый хронометр. LJ.Rossia.org (1 октября 2017). Дата обращения: 26 декабря 2017.

Ссылки

Некоторые выступления
Интервью
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Воеводский,_Владимир_Александрович&oldid=14121708