Бета-функция Дирихле

Бета-функция Дирихле действительного аргумента x

Бе́та-фу́нкция Дирихле́ (Dirichlet beta function) в математике, иногда называемая бета-функцией Каталана (Catalan beta function) — специальная функция, тесно связанная с дзета-функцией Римана. Она является частным случаем L-функции Дирихле. Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), а альтернативное название — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Eugène Charles Catalan).

Бета-функция Дирихле определяется как

[math]\displaystyle{ \beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} \; , }[/math]

или, эквивалентным образом, через интегральное представление

[math]\displaystyle{ \beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1 + e^{-2x}}\,dx \; , }[/math]

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера. В обоих случаях предполагается, что Re(s) > 0.

Связь с другими функциями

Альтернативное определение через дзета-функцию Гурвица справедливо на всей комплексной плоскости переменной s:

[math]\displaystyle{ \beta(s) = 4^{-s} \left[ \zeta\left(s,\tfrac{1}{4}\right)-\zeta\left( s, \tfrac{3}{4}\right) \right]\; . }[/math]

Бета-функция Дирихле также связана с трансцендентной функцией Лерха (англ. Lerch transcendent),

[math]\displaystyle{ \beta(s) = 2^{-s} \Phi\left(-1,s, \tfrac{1}{2}\right) \; . }[/math]

Это соотношение также верно на всей комплексной плоскости переменной s.

Функциональное соотношение

Соотношение между β(s) и β(1-s) позволяет аналитически продолжить бета-функцию Дирихле на левую часть комплексной плоскости переменной s (то есть для Re(s)<0),

[math]\displaystyle{ \beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s) \cos\left(\tfrac{1}{2}\pi s\right)\,\beta(1-s) \; , }[/math]

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера.

Частные значения

Частные значения бета-функции Дирихле при целых значения аргумента включают в себя

[math]\displaystyle{ \beta(0)\;=\;\tfrac{1}{2}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta(1)\;=\;\tfrac{1}{4}\pi, }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta(2)\;=\;G, }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta(3)\;=\;\tfrac{1}{32} \pi^3, }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta(4)\;=\;\tfrac{1}{768}\left[ \psi_3\left(\tfrac{1}{4}\right)-8\pi^4 \right], }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta(5)\;=\;\tfrac{5}{1536} \pi^5, }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta(7)\;=\;\tfrac{61}{184320} \pi^7, }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta(9)\;=\;\tfrac{1385}{41287680} \pi^9, }[/math]

где G — постоянная Каталана, а [math]\displaystyle{ {\textstyle {\psi_3(\frac{1}{4})} } }[/math] — частное значение пентагамма-функции (полигамма-функции третьего порядка).

В общем случае для любого положительного целого k

[math]\displaystyle{ \beta(2k)=\frac{1}{2^{4k} (2k-1)!} \left[\psi_{2k-1}\left(\tfrac{1}{4}\right)-\psi_{2k-1}\left(\tfrac{3}{4}\right) \right], }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \psi_{2k-1}(z)\equiv\psi^{(2k-1)}(z) }[/math] — полигамма-функция порядка (2k-1), а E_2k — числа Эйлера.

Для отрицательных значений аргумента (для целых неотрицательных k) мы имеем

[math]\displaystyle{ \beta(-2k)= \tfrac{1}{2} E_{2k} \; , }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta(-2k-1)= 0 \; , }[/math]

то есть β(s) равна нулю для всех целых нечётных отрицательных значений аргумента (см. график функции).

Приблизительные значения

s	приблизительное значение β(s)	OEIS
1	0.7853981633974483096156608	A003881
2	0.9159655941772190150546035	A006752
3	0.9689461462593693804836348	A153071
4	0.9889445517411053361084226	A175572
5	0.9961578280770880640063194	A175571
6	0.9986852222184381354416008	A175570
7	0.9995545078905399094963465
8	0.9998499902468296563380671
9	0.9999496841872200898213589
10	0.9999831640261968774055407

Производная бета-функции Дирихле

Для некоторых целых значений аргумента s производная β'(s) может быть вычислена аналитически,

[math]\displaystyle{ \beta^\prime(-1)= \frac{2G}\pi\; , }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta^\prime(0) = \ln\left(\frac{\Gamma^2(\tfrac{1}{4})}{2\pi\sqrt2}\right)\; , }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta^\prime(1) = \frac{\pi}4\left(\gamma+2\ln2+3\ln\pi-4\ln\Gamma(\tfrac14)\right)\; , }[/math]

(см. также OEIS A113847 и A078127).

Кроме этого, для целых положительных n производную можно представить в виде бесконечной суммы

[math]\displaystyle{ \beta^\prime(n) = -\sum_{k=1}^\infty \ln\left(\frac{(4k+1)^{1/(4k+1)^n}}{(4k-1)^{1/(4k-1)^n}}\right)\; . }[/math]

См. также

• Дзета-функция Римана
• Постоянная Каталана
• Дзета-функция Гурвица

Литература

• J. Spanier & K. B. Oldham. An Atlas of Functions, Hemisphere, New York, 1987
• Eric W. Weisstein. Dirichlet Beta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.