Бесселевы функции или цилиндрические функции, или цилиндрические гармоники — выражения, введенные в анализ и в особенности в небесную механику немецким астрономом Бесселем и потому носящие его имя. Во Франции еще раньше Бесселя подобные функции рассматривал Фурье в теории теплоты, и потому их называют также иногда еще функциями Фурье-Бесселя. Б. ф. можно ввести в рассмотрение весьма различным образом, смотря по той цели, к которой они применяются. Можно исходить из некоторых разложений в ряд тригонометрический, или по степеням независимой переменной, или из дифференциального уравнения второго порядка, которому удовлетворяют эти функции. Обозначая функции 0-го, 1-го, 2-го... порядка, как это общепринято, буквами [math]\displaystyle{ J_0(x),\,J_1(x),\,J_2(x),\, \dots }[/math] имеем, например:
- [math]\displaystyle{ \cos \left(x\,\sin\phi\right) = J_0(x) + 2 J_2(x) \cos 2\phi + 2 J_4(x) \cos 4\phi + \dots }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sin \left(x\,\sin\phi\right) = 2 J_1(x) \sin \phi + 2 J_3(x) \sin 3\phi + \dots }[/math]
или
- [math]\displaystyle{ e^{\frac{1}{2} x \left( z - \frac{1}{z} \right) } = J_0(x) + J_2(x) \left( z^2 + \frac{1}{z^2} \right) + J_4(x) \left( z^4 + \frac{1}{z^4} \right) + \dots + J_1(x) \left( z - \frac{1}{z} \right) + J_3(x) \left( z^3 - \frac{1}{z^3} \right) + \dots , }[/math]
а дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют Б. функции n-го порядка, есть
- [math]\displaystyle{ \frac{d^2 J_n(x)}{d x^2} + \frac{1}{x} \frac{d J_n(x)}{dx} + \left(1 - \frac{n^2}{x^2} \right) J_n(x) = 0. }[/math]
Между тремя последовательными Б-ми функциями существует простое соотношение:
- [math]\displaystyle{ x J_{n+1}(x) - 2n J_n(x) + x J_{n-1}(x) = 0, }[/math]
из которого явствует, что достаточно знать значения двух каких-нибудь из Б.-вых функций, напр. [math]\displaystyle{ J_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ J_1, }[/math] чтобы можно было найти все остальные посредством простых арифметических операций. Отсюда же легко получить следующую непрерывную дробь, позволяющую вычислять с произвольной степенью точности значения какой угодно Б-вой функции:
- [math]\displaystyle{ p = \frac{1}{\frac{2n}{x} - \frac{1}{\frac{2n + 2}{x} - \frac{1}{\frac{2n + 4}{x} - \dots }}}. }[/math]
Для этого стоит только положить [math]\displaystyle{ J_n = p_n J_{n-1}, }[/math] откуда будет вообще [math]\displaystyle{ J_n = p_1\, p_2\,\dots\, p_n\, J_0, }[/math] а это непосредственно приводит к написанной непрерывной дроби. Б.-вы функции могут также быть представлены и притом несколькими способами в виде определенного интеграла, а именно:
- [math]\displaystyle{ J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int^\pi_0 \cos \left(n\phi - x\sin\phi \right) d\phi, }[/math]
или иначе
- [math]\displaystyle{ J_n(x) = \frac{x^n}{2^n \Gamma \left(n + \frac{1}{2}\right) \sqrt{\pi}} \int^\pi_0 \cos \left(x\cos\phi\right) \sin^{2n}\phi\,d\phi. }[/math]
Разложенная в ряд Б-ва функция n-го порядка есть:
- [math]\displaystyle{ J_n(x) = \frac{x^n}{2^n \Gamma (n+1)} \left( 1 - \left(\frac{x}{2}\right)^2\frac{1}{1 \cdot (n + 1)} + \left(\frac{x}{2}\right)^4\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot (n + 1) (n + 2)} - \left(\frac{x}{2}\right)^6\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (n + 1) (n + 2) (n + 3)} + \dots \right). }[/math]
Определение Б.-вой функции посредством определенного интеграла или ряда может быть распространено и на случай нецелого значения показателя n с условием в последнем случае [math]\displaystyle{ n+1\gt 0. }[/math] Так, напр., из интеграла получается:
- [math]\displaystyle{ J_{\frac{1}{2}}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi\,x} \sin x}. }[/math]
Употребление функций Бесселя в анализе, в теории теплоты и в небесной механике основано на том, что многие разложения в ряд могут быть сделаны с удобством посредством именно этих функций. Так, напр., имеем:
- [math]\displaystyle{ \cos x = J_0(x) - 2 J_2(x) + 2 J_4(x) - \dots }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sin x = 2 J_1(x) - 2 J_3(x) + 2 J_5(x) - \dots }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} J_0(x) + J_2(x) + J_4(x) + \dots }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} x = J_1(x) +3 J_3(x) +5 J_5(x) + \dots }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} x^2 = 2^2 J_2(x) + 4^2 J_4(x) + \dots }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} x^3 = 3 \left(3^2 - 1 \right) J_3(x) + 5 \left(5^2 - 1 \right) J_5(x) + \dots }[/math]
Такие разложения в ряд играют важную роль в теории возмущений планетных движений. Эти же функции интегрируют в анализе известное дифференциальное уравнение Риккати. Заметим в заключение, что функции Бесселя можно рассмативать как частный случай функций Лежандра, или шаровых функций, или сферических гармоник, т. е. функций, удовлетворяющих уравнению:
- [math]\displaystyle{ \left(1 - x^2 \right) \frac{d^2 P_m}{dx^2} - 2x \frac{d P_m}{dx} + m(m+1) P_m = 0. }[/math]
для случая [math]\displaystyle{ m=\infty, }[/math] а именно вводя новую переменную [math]\displaystyle{ \xi }[/math] и новую функцию [math]\displaystyle{ \eta }[/math] положениями
- [math]\displaystyle{ \xi = m \sqrt{1-x^2},\quad \eta = \left( 1 - x^2 \right)^{\frac{1}{2}n} \frac{d^n Pm}{dx^n} }[/math]
получим, полагая [math]\displaystyle{ m }[/math] бесконечно большим, дифференциальное уравнение, удовлетворяемое Б.-ою функцией n-го порядка, написанное выше.
Литература. Работы самого Бесселя о функциях, носящих его имя, помещены в собрании его сочинений, изд. Энгельмана т. I. Затем специально Б.-м функциям посвящены труды: Неймана (Neumann), «Theorie der Bessel’schen Functionen»; Ломмеля (Lommel), «Studienüber die Bessel’schen Functionen». Весьма полное исследование этих функций можно найти в трактате Гейне (Heine) «Handbuch der Kugelfunctionen» (2-е изд.) и в более элементарном учебнике Тодгентера (Todhunter), «An elementary Treatise on the functions of Laplace, Laméand Bessel». Таблицы численных значений Б.-вых функций для практических приложений их находятся в работе Бесселя, в статье Гансена об определении абсолютных возмущений и подробнее других в специальных таблицах Мейсселя (Meissel).