Функциональная отделимость

Функциональная отделимость — свойство пары подмножеств топологического пространства.

Определение

Два подмножества [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] в данном топологическом пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math] называются функционально отделимыми в [math]\displaystyle{ X }[/math], если существует такая определенная во всём пространстве вещественная ограниченная непрерывная функция [math]\displaystyle{ f }[/math], которая принимает во всех точках множества [math]\displaystyle{ A }[/math] одно значение [math]\displaystyle{ a }[/math], a во всех точках множества [math]\displaystyle{ B }[/math] ― некоторое отличное от [math]\displaystyle{ a }[/math] значение [math]\displaystyle{ b }[/math]. При этом всегда можно предположить, что [math]\displaystyle{ a=0,b=1,0\leqslant f(x)\leqslant 1 }[/math] во всех точках [math]\displaystyle{ x\in X }[/math].

Связанное определение

Пространство, в котором всякая точка функционально отделима от всякого не содержащего её замкнутого множества, называется вполне регулярным.

Свойства

Два функционально отделимых множества всегда отделимы и окрестностями. Обратное утверждение верно не всегда, однако имеет место:
- Лемма Урысона. В нормальном пространстве всякие два дизъюнктные замкнутые множества функционально отделимы.

См. также