Фотонный ящик Эйнштейна

Фотонный ящик Эйнштейна — гипотетическое устройство, якобы способное, вопреки соотношению неопределенностей между энергией и временем, измерить энергию фотона с любой заданной точностью в любой момент времени, также заданный с любой точностью. Идея этого устройства была выдвинута А. Эйнштейном во время его дискуссии с Н. Бором на Сольвейской конференции в 1930 г. Н. Бор объяснил этот парадокс и подчеркнул, что необходимо различать собственно измерительные приборы, служащие для определения системы отсчета и теми частями прибора, которые являются объектами исследования и подвержены квантовым эффектам.

Формулировка парадокса

Фотонный ящик Эйнштейна

Фотонный ящик Эйнштейна состоит из ящика с отверстием в стенке, которое можно открывать и закрывать при помощи часового механизма изнутри ящика. Пусть ящик заполнен излучением, а часовой механизм запрограммирован открыть отверстие в заданный момент на очень короткое время. Таким образом, можно добиться того, что в момент времени, заданный с любой точностью, через отверстие пройдет один фотон. Путем определения разности масс [math]\displaystyle{ \Delta m }[/math] ящика до и после этого момента времени при помощи взвешивания, якобы можно, вопреки соотношению неопределенностей между энергией и временем, измерить энергию фотона [math]\displaystyle{ \Delta E }[/math] с любой желаемой точностью согласно формуле Эйнштейна зависимости между массой и энергией:

[math]\displaystyle{ \Delta E = \Delta m c^{2} }[/math] (1)

Объяснение парадокса

Предположим, что фотонный ящик для взвешивания подвешен на пружине, к нему прикреплена стрелка, а снизу к ящику прикреплена подставка с гирями для точной установки стрелки к нулю измерительной шкалы в процессе взвешивания (см. рис). Для взвешивания фотонного ящика необходимо установить стрелку весов, прикрепленную к ящику, в нулевое положение шкалы с некоторой наперед заданной точностью [math]\displaystyle{ \Delta q }[/math]. Но, согласно соотношению неопределенностей, при этом возникает неопределенность импульса ящика [math]\displaystyle{ \Delta p }[/math] ([math]\displaystyle{ \hbar }[/math] - постоянная Планка):

[math]\displaystyle{ \Delta q \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2} }[/math].

Эта неопределенность должна быть меньше импульса, переданного полем тяготения телу с массой [math]\displaystyle{ \Delta m }[/math] в течение времени [math]\displaystyle{ T }[/math], в течение которого происходит процесс взвешивания ([math]\displaystyle{ g }[/math] - ускорение свободного падения):

[math]\displaystyle{ Tg \Delta m \gt \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2 \Delta q} }[/math] (2)

В то же время, по общей теории относительности, часы, сместившиеся в поле силы тяжести на величину [math]\displaystyle{ \Delta q }[/math], изменят свой ход таким образом, что их показание в течение промежутка времени [math]\displaystyle{ T }[/math] изменится на величину [math]\displaystyle{ \Delta T }[/math] ([math]\displaystyle{ c }[/math] - скорость света):

[math]\displaystyle{ \frac{\Delta T}{T} = \frac{g \Delta q}{c^2} }[/math] (3)

Из формул (2) и (3) следует, что вследствие взвешивания показания часов содержат неопределенность [math]\displaystyle{ \Delta T }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Delta T \geqslant \frac{\hbar}{2 c^2 \Delta m} }[/math]

Из этой формулы и формулы (1) следует, что неопределенность знаний показаний часов и неопределенность знаний энергии фотона связаны согласно соотношению неопределенностей:

[math]\displaystyle{ \Delta T \Delta E \geqslant \frac{\hbar}{2} }[/math]

См. также

• Дискуссия Бора с Эйнштейном
• Соотношение неопределенностей
• Эквивалентность массы и энергии
• Гравитационное красное смещение

Литература

• Нильс Бор Атомная физика и человеческое познание. - М., ИЛ, 1961. - 150 с.