Уравнение Стейнхарта — Харта

Уравне́ние Сте́йнхарта — Ха́рта — математическая модель, описывающая сопротивление полупроводниковых терморезисторов с отрицательным температурным коэффициентом электрического сопротивления в зависимости от температуры.

В наиболее общем виде это уравнение:

[math]\displaystyle{ {\frac 1{T}= \sum_{i=0}^{\infty} a_i \ln^i(R) =} }[/math]

[math]\displaystyle{ {= a_0 + a_1 \ln(R) + a_2 \ln^2(R) + a_3 \ln^3(R) + a_4 \ln^4(R) + \ldots} }[/math]

где: [math]\displaystyle{ T }[/math] — абсолютная температура (в Кельвинах);

[math]\displaystyle{ R }[/math] — сопротивление при температуре [math]\displaystyle{ T }[/math] (в Омах);

[math]\displaystyle{ a_i }[/math] - коэффициенты уравнения Стейнхарта — Харта, зависящие от начального сопротивления терморезистора, его типа.

В практических расчётах членом суммы [math]\displaystyle{ a_2 \ln^2(R) }[/math] и последующими членами [math]\displaystyle{ {a_4 \ln^4(R) + \ldots} }[/math] обычно пренебрегают так как они, как правило, вносят несущественный вклад в точность результата расчётов по уравнению.

Поэтому уравнение обычно записывают так:

[math]\displaystyle{ {1 \over T} = A + B \ln(R) + C [\ln(R)]^3 , }[/math]

где [math]\displaystyle{ A = a_0, }[/math] [math]\displaystyle{ B = a_1, }[/math] [math]\displaystyle{ C = a_3. }[/math]

Коэффициенты [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math] зависят от параметров терморезистора и от диапазона температур в котором это уравнение даёт достаточную для практического применения точность.

Обратное уравнение

Для вычисления сопротивления терморезистора при заданной температуре используется обратное уравнение Стейнхарта — Харта:

[math]\displaystyle{ R = \exp\left(\sqrt[3]{y - {x\over 2}} - \sqrt[3]{y + {x\over 2}}\right), }[/math]

где

[math]\displaystyle{ \begin{align} x &= \frac{1}{C}\left(A - \frac{1}{T}\right), \\ y &= \sqrt{\left({B \over 3C}\right)^3 + \left(\frac{x}{2}\right)^2}. \end{align} }[/math]

Экспериментальное определение коэффициентов уравнения Стейнхарта — Харта

Если коэффициенты уравнения неизвестны для конкретного терморезистора, то они могут определены экспериментально по трём сопротивлениям терморезистора при трёх разных температурах.

Коэффициенты находятся как решения системы из трёх уравнений:

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & \ln\left(R_1\right) & \ln^3\left(R_1\right) \\ 1 & \ln\left(R_2\right) & \ln^3\left(R_2\right) \\ 1 & \ln\left(R_3\right) & \ln^3\left(R_3\right) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A \\ B \\ C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{T_1} \\ \frac{1}{T_2} \\ \frac{1}{T_3} \end{bmatrix} }[/math]

где [math]\displaystyle{ R_1 }[/math], [math]\displaystyle{ R_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ R_3 }[/math] — значения сопротивления при температуре [math]\displaystyle{ T_1 }[/math], [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ T_3 }[/math] соответственно.

Подстановки и решение системы:

[math]\displaystyle{ \begin{align} L_1 &= \ln\left(R_1\right),\; L_2 = \ln\left(R_2\right),\; L_3 = \ln\left(R_3\right) \\ Y_1 &= \frac{1}{T_1},\; Y_2 = \frac{1}{T_2},\; Y_3 = \frac{1}{T_3} \\ \gamma_2 &= \frac{Y_2 - Y_1}{L_2 - L_1},\; \gamma_3 = \frac{Y_3 - Y_1}{L_3 - L_1} \\ \Rightarrow C &= \left( \frac{ \gamma_3 - \gamma_2 }{ L_3 - L_2} \right) \left(L_1 + L_2 + L_3\right)^{-1} \\ \Rightarrow B &= \gamma_2 - C \left(L_1^2 + L_1 L_2 + L_2^2\right) \\ \Rightarrow A &= Y_1 - \left(B + L_1^2 C\right) L_1 \end{align} }[/math]

Применение уравнения

Уравнение позволяет по измеренному сопротивлению терморезистора вычислить его температуру и обратно — по температуре терморезистора вычислить его сопротивление и обеспечивает хорошую точность во всем рабочем диапазона температур, например, терморезистивного термометра.

Коэффициенты входящие в уравнение Стейнхарта — Харта обычно публикуются производителями терморезисторов в справочных данных на конкретные типы терморезисторов.

Скрипт на Ruby для расчета

#!/usr/bin/env ruby

puts puts "\t\u2318\u2318 You're using Ruby ver. " + RUBY_VERSION + "\t\u2318\u2318"

$k = 273.15

E = ( Math::E )

def ln(x)
  ( ln = Math.log(x) )
end 

def sqrt(x)
  ( sqrt = Math.sqrt(x) )
end 

def cbrt(x)
  ( cbrt = Math.cbrt(x) )
end 

def exp(x)
  ( exp = Math.exp(x) )
end 
#-----------------------------------
def arr_abc(t1, r1, t2, r2, t3, r3)
  y1 = 1 / t1; y2 = 1 / t2; y3 = 1 / t3 
  l1 = ln(r1); l2 = ln(r2); l3 = ln(r3)

  g2 = (y2 - y1) / (l2 -l1)
  g3 = (y3 - y1) / (l3 -l1)

  c = ((g3 -g2) / (l2 - l1)) / (l1 + l2 + l3)
  b = g2 - c * (l1 ** 2 + l1 * l2 + l2 ** 2)
  a = y1 - (b + c * l1 ** 2) * l1
	
  arr_abc = [a, b, c]
end

=begin 
# Прмер ввода экспериментальных данных:

t1 =  0 + $k; r1 = 32.014e+3
t2 = 40 + $k; r2 =  5.372e+3
t3 = 70 + $k; r3 =  1.7942e+3

# -------------------------------------
=end
# Расчёт:

tmp = arr_abc(t1, r1, t2, r2, t3, r3)
a_t = tmp[0]; b_t = tmp[1]; c_t = tmp[2]

#puts "A = #{a_t}, B = #{b_t}, C = #{c_t}"

#------------------------
=begin
# Данные для проверки:
t = 55; t = t + $k
=end

x = (a_t - 1 / t) / c_t
y = sqrt((b_t / (3 * c_t)) ** 3 + (x / 2) ** 2)

#--------------------------

# Расчет сопротивления по температуре: 
r_tmp = exp( cbrt(y - (x / 2)) - cbrt(y + (x / 2)) )

puts "T = #{t - $k}°C, R = #{(r_tmp).round(1)} Ω"

# Расчет температуры по сопротивлению:
t_r = 1 / (a_t + b_t * ln(r_tmp) + c_t * ((ln(r_tmp).abs) ** 3) )

puts "R = #{(r_tmp).round(1)} Ω, T = #{(t_r - $k).round(2)}°C"

Результат:
T = 55.0°C, R = 3052.2 Ω
R = 3052.2 Ω, T = 55.0°C

Из datasheet для EPCOS R/T:4901; B25/100: 3950K
 — 3.0393 kΩ —

Авторы уравнения

Уравнение названо в честь Джона Стейнхарта (John S. Steinhart) и Стэнли Харта (Stanley R. Hart), впервые опубликовавших его в 1968 г.

Профессор Стейнхарт (1929—2003), член Американского Геофизического Союза и Американской ассоциации содействующей развитию науки, был членом факультета Висконсинского университета в Мадисоне с 1969 по 1991 гг.

Доктор Харт, старший научный сотрудник в Woods Hole Oceanographic Institution с 1989 и член Геологического сообщества Америки, Американского Геофизического Союза, геохимического сообщества и европейской ассоциации геохимии, работал с профессором Стейнхартом в институте Карнеги в Вашингтоне, где было предложено это уравнение.

Ссылки

• Калькулятор уравнения Стейнхарта —Харта (англ.)