Транспозиция (математика)

В математике транспозиция — биекция множества в себя, переставляющая местами два элемента этого множества.

Формальное определение

Пусть дано конечное множество [math]\displaystyle{ X=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\} }[/math], транспозицией на нём называется перестановка (биективная функция из [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ X }[/math]) [math]\displaystyle{ f }[/math] такая, что существуют индексы [math]\displaystyle{ i }[/math] и [math]\displaystyle{ j }[/math] такие, что [math]\displaystyle{ f(a_i) = a_j }[/math], [math]\displaystyle{ f(a_j) = a_i }[/math] и [math]\displaystyle{ f(a_k) = a_k }[/math] для всех остальных индексов [math]\displaystyle{ k. }[/math]

Транспозиция часто представляется в виде цикла [math]\displaystyle{ (a_i, a_j). }[/math]

Пример

Например, если [math]\displaystyle{ X=\{a, b, c, d, e\} }[/math], функция [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] определена как

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} \sigma(a)&=&a\\ \sigma(b)&=&e\\ \sigma(c)&=&c\\ \sigma(d)&=&d\\ \sigma(e)&=&b \end{matrix}, }[/math]

то данная перестановка является транспозицией.

Свойства

Любая перестановка может быть представлена в виде композиции (произведения) транспозиций.

Знак перестановки может быть определен из разложения перестановки в произведение транспозиций: [math]\displaystyle{ \sgn(\sigma)=(-1)^m }[/math], где [math]\displaystyle{ m }[/math] — число транспозиций в разложении.

См. также

• Перестановка