Тихоновский куб

Тихоновский куб в общей топологии — единичный куб в [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерном пространстве, где [math]\displaystyle{ m }[/math] — произвольное бесконечное кардинальное число, называемое весом куба (оно равно весу тихоновского куба как топологического пространства), то есть, [math]\displaystyle{ m }[/math]-кратное прямое произведение (с топологией произведения) единичного отрезка [math]\displaystyle{ \prod_{s\in S}[0,1]=I^m }[/math], где [math]\displaystyle{ |S|=m, I=[0,1] }[/math]. Введён в 1929 году Андреем Николаевичем Тихоновым.

Примеры

• Гильбертов кирпич — тихоновский куб счётного веса.

Свойства

Тихоновский куб [math]\displaystyle{ I^m }[/math] - универсальное пространство для всех тихоновских пространств и компактных хаусдорфовых пространств веса не больше [math]\displaystyle{ m }[/math].

По теореме Тихонова тихоновский куб любого веса компактен.

Если [math]\displaystyle{ n\leqslant m }[/math], то куб [math]\displaystyle{ I^n }[/math] вкладывается в [math]\displaystyle{ I^m }[/math].

Число Суслина для любого тихоновского куба счётно, вне зависимости от его веса.

Литература

• Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 137—139. — 752 с.
• Тихоновский куб — статья из Математической энциклопедии. Архангельский А. В.