Теория (логика)
 | В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |
В логике теория — это множество формул некоторого языка.
Как правило, интерес представляют лишь теории, содержащие некоторый минимальный набор формул (аксиом) и замкнутые относительно некоторых правил вывода, специфических для языка.
Термин теория чаще всего употребляется в контексте логики первого порядка, хотя он используется также и для неклассических логик. В контексте модальной логики для аналогичного понятия используются термины модальная логика и нормальная модальная логика (см. статью модальная логика).
Теории логики первого порядка состоят из замкнутых формул.
С точки зрения теории моделей, теория объект чисто семантический, это некий инвариант модели или класс моделей. С другой стороны, аксиоматизация является компактным представленим теории с помощью различных синтаксических механизмов, таких как аксиомы и правила вывода.
Формулы, принадлежащие теории, называются её теоремами.
Полнота
Теория называется непротиворечивой, если она не совпадает со множеством всех формул.
Теория [math]\displaystyle{ T }[/math] называется полной, если для любой формулы [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] либо [math]\displaystyle{ \varphi \in T }[/math], либо [math]\displaystyle{ \neg \varphi \in T }[/math].
Каждая модель первого порядка данной сигнатуры [math]\displaystyle{ S }[/math] естественным образом порождает полную теорию:
[math]\displaystyle{ Th(\mathfrak{M}) = \{\varphi \in L(S) \mid \mathfrak{M} \models \varphi\} }[/math]
(где [math]\displaystyle{ L(S) }[/math] означает язык первого порядка для сигнатуры [math]\displaystyle{ S }[/math]).
Разрешимость
Теория называется разрешимой, если задача определения принадлежности данной формулы к этой теории является алгоритмичечски разрешимой.
Эквивалентное определение: теория называется разрешимой, если множество Гёделевых номеров формул теории является рекурсивным.