Теорема о перестановке ряда

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Теорема о перестановке ряда:

Перестановка абсолютно сходящегося ряда приводит к сходящемуся ряду с той же суммой.

Доказательство

Далее [math]\displaystyle{ m_k = \varphi(k) }[/math], где [math]\displaystyle{ \varphi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} }[/math]перестановка натурального ряда.

Если ряд [math]\displaystyle{ \sum a_k }[/math] положительный, то

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n a_{m_k} }[/math][math]\displaystyle{ \leqslant \sum_{k=1}^N a_k, }[/math]

где [math]\displaystyle{ N = \max \left\{m_1, m_2, ..., m_n\right\}, }[/math] и поэтому

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_{m_k} }[/math][math]\displaystyle{ \leqslant \sum_{k=1}^\infty a_k. }[/math]

Следовательно, перестановка ряда не увеличивает суммы, а так как ряд [math]\displaystyle{ \sum a_k }[/math] в свою очередь является перестановкой ряда [math]\displaystyle{ \sum a_{m_k} }[/math], то обе суммы совпадают.
Если ряд [math]\displaystyle{ \sum a_k }[/math] знакопеременный, то на основании первой части доказательства

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_{m_k} }[/math][math]\displaystyle{ = \sum_{k=1}^\infty b_{m_k} }[/math][math]\displaystyle{ - \sum_{k=1}^\infty c_{m_k} }[/math][math]\displaystyle{ = \sum_{k=1}^\infty b_k - \sum_{k=1}^\infty c_k = \sum_{k=1}^\infty a_k. }[/math]

См. также

Литература

  • Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.