Перейти к содержанию

Теорема Массельмана

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

В евклидовой геометрии теорема Массельмана — это свойство некоторых окружностей, определённых для произвольного треугольника.

Формулировка теоремы

Треугольник T с вершинами A, B и C; O — центр описанной окружности (красная).
A*, B* и C* — точки, симметричные точкам A, B и C относительно противоположной стороны.
M — точка пересечения окружностей Массельмана.
Зелёная окружность — окружность девяти точек, N — её центр.
K — точка Косниты.

Пусть дан треугольник [math]\displaystyle{ T }[/math] с вершинами [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ A^* }[/math], [math]\displaystyle{ B^* }[/math] и [math]\displaystyle{ C^* }[/math] — вершины треугольника отражений [math]\displaystyle{ T^* }[/math], получаемого зеркальным отражением каждой вершины [math]\displaystyle{ T }[/math] относительно противоположной стороны[1]. Пусть [math]\displaystyle{ O }[/math] — центр описанной окружности [math]\displaystyle{ T }[/math]. Рассмотрим 3 окружности [math]\displaystyle{ S_A }[/math], [math]\displaystyle{ S_B }[/math] и [math]\displaystyle{ S_C }[/math], проходящие через точки [math]\displaystyle{ A\,O\,A^* }[/math], [math]\displaystyle{ B\,O\,B^* }[/math] и [math]\displaystyle{ C\,O\,C^* }[/math] соответственно. Теорема утверждает, что эти три окружности Массельмана пересекаются в точке [math]\displaystyle{ M }[/math], которая является инверсией относительно описанной вокруг [math]\displaystyle{ T }[/math] окружности точки Косниты, которая является изогональным сопряжением центра девяти точек треугольника [math]\displaystyle{ T }[/math][2].

Общая точка [math]\displaystyle{ M }[/math] является точкой Гилберта треугольника [math]\displaystyle{ T }[/math], которая перечислена как [math]\displaystyle{ X_{1157} }[/math] в Энциклопедии центров треугольника[2][3].

История

Теорема предложена как задача Массельманом (J. R. Musselman) и Горматигом (René Goormaghtigh) в 1939 году[4], и доказательство представлено ими в 1941 году[5]. Обобщение этого результата сформулировано и доказано Горматигом[6].

Обобщение Горматига

Обобщение теоремы Массельмана Горматигом не упоминает окружности явно.

Как и прежде, пусть [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math] — вершины треугольника [math]\displaystyle{ T }[/math], и [math]\displaystyle{ O }[/math] — центр описанной окружности. Пусть [math]\displaystyle{ H }[/math] — ортоцентр треугольника [math]\displaystyle{ T }[/math], то есть пересечение трёх высот. Пусть [math]\displaystyle{ A' }[/math], [math]\displaystyle{ B' }[/math] и [math]\displaystyle{ C' }[/math] — три точки на отрезках [math]\displaystyle{ OA }[/math], [math]\displaystyle{ OB }[/math] и [math]\displaystyle{ OC }[/math], такие что [math]\displaystyle{ OA'/OA=OB'/OB=OC'/OC = t }[/math]. Рассмотрим 3 прямые [math]\displaystyle{ L_A }[/math], [math]\displaystyle{ L_B }[/math] и [math]\displaystyle{ L_C }[/math], перпендикулярные [math]\displaystyle{ OA }[/math], [math]\displaystyle{ OB }[/math] и [math]\displaystyle{ OC }[/math] через точки [math]\displaystyle{ A' }[/math], [math]\displaystyle{ B' }[/math] и [math]\displaystyle{ C' }[/math] соответственно. Пусть [math]\displaystyle{ P_A }[/math], [math]\displaystyle{ P_B }[/math] и [math]\displaystyle{ P_C }[/math] — точки пересечения перпендикуляров с прямыми [math]\displaystyle{ BC }[/math], [math]\displaystyle{ CA }[/math] и [math]\displaystyle{ AB }[/math] соответственно.

Нойберг (J. Neuberg) в 1884 году заметил, что три точки [math]\displaystyle{ P_A }[/math], [math]\displaystyle{ P_B }[/math] и [math]\displaystyle{ P_C }[/math] лежат на одной прямой [math]\displaystyle{ R }[/math][7]. Пусть [math]\displaystyle{ N }[/math] — проекция центра описанной окружности [math]\displaystyle{ O }[/math] на прямую [math]\displaystyle{ R }[/math], а [math]\displaystyle{ N' }[/math] — точка на [math]\displaystyle{ ON }[/math], такая что [math]\displaystyle{ ON'/ON = t }[/math]. Горматиг доказал, что [math]\displaystyle{ N' }[/math] является инверсией относительно описанной вокруг треугольника [math]\displaystyle{ T }[/math] окружности изогонального сопряжения точки [math]\displaystyle{ Q }[/math] на прямой Эйлера [math]\displaystyle{ OH }[/math], такой что [math]\displaystyle{ QH/QO = 2t }[/math][8][9].

Примечания

  1. ↑ D. Grinberg (2003) On the Kosnita Point and the Reflection Triangle Архивная копия от 3 мая 2015 на Wayback Machine. Forum Geometricorum, volume 3, pages 105—111
  2. ↑ 2,0 2,1 Weisstein, Eric W. Musselman's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. ↑ Clark Kimberling (2014), Encyclopedia of Triangle Centers Архивная копия от 19 апреля 2012 на Wayback Machine, section X(1154) = Gilbert Point. Accessed on 2014-10-08
  4. ↑ J. R. Musselman and R. Goormaghtigh (1939), Advanced Problem 3928. American Mathematics Monthly, volume 46, page 601
  5. ↑ J. R. Musselman and R. Goormaghtigh (1941), Solution to Advanced Problem 3928. American Mathematics Monthly, volume 48, pages 281—283
  6. ↑ Jean-Louis Ayme, le point de Kosnitza Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine, page 10. Online document, accessed on 2014-10-05.
  7. ↑ J. Neuberg (1884), Mémoir sur le Tetraèdre. According to Nguyen, Neuberg also states Goormaghtigh’s theorem, but incorrectly.
  8. ↑ Khoa Lu Nguyen (2005), A synthetic proof of Goormaghtigh’s generalization of Musselman’s theorem Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine. Forum Geometricorum, volume 5, pages 17-20
  9. ↑ Ion Patrascu and Catalin Barbu (2012), Two new proofs of Goormaghtigh theorem Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine. International Journal of Geometry, volume 1, pages=10-19, issn=2247-9880
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Теорема_Массельмана&oldid=5878772