Теорема Колмогорова о трёх рядах

Теорема Колмогорова о трёх рядах, названная в честь Андрея Колмогорова, в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин через сходимость рядов, связанных с их распределениями вероятностей. Теорема Колмогорова о трёх рядах в сочетании с леммой Кронекера может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел.

Определения

Пусть [math]\displaystyle{ c }[/math] — некоторая константа. Тогда

[math]\displaystyle{ \xi^c = \begin{cases} \xi, & |\xi|\leqslant c, \\ 0, & |\xi| \gt c. \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ I }[/math] — индикатор на множестве значений случайной величины.

Формулировка теоремы

Пусть [math]\displaystyle{ \xi_1,\xi_2 ... }[/math] — последовательность независимых случайных величин. Для сходимости с вероятностью единица ряда [math]\displaystyle{ \sum \xi }[/math] необходимо, чтобы для любого [math]\displaystyle{ c \gt 0 }[/math] сходились ряды

[math]\displaystyle{ \sum \mathbb{E}\xi_{n}^{c}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum D\xi_{n}^{c}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum P(|\xi_n|\geqslant c) }[/math]

и достаточно, чтобы эти ряды сходились при некотором [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math].

Доказательство

Достаточность

По теореме о двух рядах ряд [math]\displaystyle{ \sum \xi_{n}^{c} }[/math] сходится с вероятностью единица. Но если [math]\displaystyle{ \sum P(|\xi_n|\geqslant c)\lt \infty }[/math], то по лемме Бореля — Кантелли с вероятностью единица [math]\displaystyle{ \sum I(|\xi_n|\geqslant c)\lt \infty }[/math], а значит, [math]\displaystyle{ \xi_n = \xi_n^c }[/math] для всех [math]\displaystyle{ n }[/math], за исключением, быть может, конечного числа. Поэтому ряд [math]\displaystyle{ \sum \xi }[/math] также сходится.

Необходимость

Если ряд [math]\displaystyle{ \sum \xi_n }[/math] сходится, то [math]\displaystyle{ \xi_n \rightarrow 0 }[/math] и, значит, для всякого [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math] может произойти не более конечного числа событий [math]\displaystyle{ {|\xi_n|\geqslant c} }[/math]. Поэтому [math]\displaystyle{ \sum I(|\xi_n|\geqslant c)\lt \infty }[/math] и по второй части леммы Бореля — Кантелли [math]\displaystyle{ \sum P(|\xi_n|\geqslant c)\lt \infty }[/math]. Далее, из сходимости ряда [math]\displaystyle{ \sum \xi_n }[/math] следует и сходимость ряда [math]\displaystyle{ \sum \xi_n^c }[/math]. Поэтому по теореме о двух рядах каждый из рядов [math]\displaystyle{ \sum \mathbb{E}\xi_{n}^{c} }[/math] и [math]\displaystyle{ \sum D\xi_{n}^{c} }[/math] сходится.

Следствие

Пусть [math]\displaystyle{ \xi_1, \xi_2 ... }[/math] — независимые случайные величины с [math]\displaystyle{ \mathbb{E}\xi_n = 0 }[/math]. Тогда, если

[math]\displaystyle{ \sum \mathbb{E} \frac{\xi_n^2}{1+ |\xi_n|} \lt \infty, }[/math]

то ряд [math]\displaystyle{ \sum \xi_n }[/math] сходится с вероятностью единица.

Пример

В качестве примера рассмотрим случайный гармонический ряд:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \pm \frac{1}{n} }[/math]

где «[math]\displaystyle{ \pm }[/math]» означает, что знак каждого члена [math]\displaystyle{ 1/n }[/math] выбран случайно, независимо, и с вероятностями [math]\displaystyle{ 1/2 }[/math], [math]\displaystyle{ 1/2 }[/math]. Выбрав в качестве [math]\displaystyle{ \xi_n }[/math] ряд, членами которого являются [math]\displaystyle{ 1/n }[/math] и [math]\displaystyle{ -1/n }[/math] с равными вероятностями, легко убедиться, что он удовлетворяет условиям теоремы и сходится с вероятностью единица. C другой стороны, аналогичный ряд обратных квадратных корней со случайными знаками:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \pm \frac{1}{\sqrt{n}}, }[/math]

расходится с вероятностью единица, так как ряд [math]\displaystyle{ \sum D\xi_{n}^{c} }[/math] расходится.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)

Ссылки

• Sun, Rongfeng. Lecture notes (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 22 сентября 2015. Архивировано 17 апреля 2018 года.