Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке

Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке утверждает, что для любой точки выпуклой оболочки подмножества евклидового пространства найдётся содержащий её невырожденный симплекс с вершинами в этом подмножестве.

Формулировка теоремы

Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — компакт в [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерном евклидовом пространстве. Тогда любая точка [math]\displaystyle{ x }[/math] в выпуклой оболочке [math]\displaystyle{ A }[/math] является выпуклой комбинацией не более чем [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] точек множества [math]\displaystyle{ A }[/math]. То есть

[math]\displaystyle{ \operatorname{Conv} A = \left\{ x\in\mathbb{R}^m : x = \sum_{i=1}^{m+1}\lambda_i x_i,\quad x_i \in A, \quad \lambda_i \geqslant 0, \quad \sum_{i=1}^{m+1}\lambda_i = 1,\quad i = 1,\ 2,\ \dots,\ m+1\right\} }[/math]

Связанные результаты

• В случае, когда одна из координат точки [math]\displaystyle{ x \in \operatorname{Conv} A }[/math] достигает экстремального значения (для множества A), эта точка может быть представлена как выпуклая комбинация не более чем m точек A.

• С теоремой Каратеодори о выпуклой оболочке связана также теорема Хелли.

• Выпуклая оболочка компактного множества компактна. Это утверждение также иногда называется теоремой Каратеодори.

Литература

• Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. — М.: «Советское радио», 1974. — 400 с.