Перейти к содержанию

Телеграфные уравнения

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Телегра́фные уравне́ния — пара линейных дифференциальных уравнений, описывающих распределение напряжения и тока по времени и расстоянию в линиях электрической связи. Уравнения были составлены Оливером Хевисайдом, разработавшим в 1880-х годах модель линии электрической связи.

Теория Хевисайда применима к линиям передачи электрического тока всех частот, включая телеграфные, телефонные и более высокочастотные линии, а также силовые линии электропередачи и линии передачи постоянного тока.

Распределённые параметры

Схематическое изображение элементарных компонентов линии электрической связи

Телеграфные уравнения, как и все другие уравнения, описывающие электрические явления, могут быть сведены к частному случаю уравнений Максвелла. С практической точки зрения предполагается, что проводники состоят из бесконечной цепи четырёхполюсников, каждый из которых представляет собой бесконечно короткий участок линии со следующими параметрами:

Параметры [math]\displaystyle{ R }[/math] и [math]\displaystyle{ L }[/math] показаны на рисунке отнесёнными к одному проводнику, но фактически представляют соответствующее суммарное значение, относящееся к обоим проводникам. Распределённые по бесконечной цепи четырёхполюсников параметры [math]\displaystyle{ R }[/math], [math]\displaystyle{ L }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math], [math]\displaystyle{ G }[/math] называются первичными параметрами линии. Также можно использовать обозначения [math]\displaystyle{ R' }[/math], [math]\displaystyle{ L' }[/math], [math]\displaystyle{ C' }[/math], [math]\displaystyle{ G' }[/math], чтобы подчеркнуть, что значения являются производными по координате.

Уравнения

Линия без потерь

Когда элементы [math]\displaystyle{ R }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math] малы, их значением можно пренебречь, линия электрической связи при этом считается идеальной. В этом случае модель зависит только от элементов [math]\displaystyle{ L }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math], мы получаем пару дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, одна функция описывает распределение напряжения [math]\displaystyle{ U }[/math] вдоль линии, а другая — распределение тока [math]\displaystyle{ I }[/math], обе функции зависят от координаты [math]\displaystyle{ x }[/math] и времени [math]\displaystyle{ t }[/math][1][2][3][4][5][6][7]:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} U(x,t) = -L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t), }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} I(x,t) = -C \frac{\partial}{\partial t} U(x,t). }[/math]

Эти уравнения можно совместить для получения двух отдельных волновых уравнений:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} U = \frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} U, }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I = \frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I. }[/math]

В гармоническом случае (считая, что волна синусоидальная) [math]\displaystyle{ E = E_0 \cdot e^{-j\omega ( \frac{x}{c} - t)} }[/math], уравнения упрощаются до

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2U(x)}{\partial x^2} + \omega^2 LC\cdot U(x) = 0, }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2I(x)}{\partial x^2} + \omega^2 LC\cdot I(x) = 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — частота стационарной волны.

Если линия является бесконечно длинной или оканчивается характеристическим комплексным сопротивлением, уравнения показывают присутствие волны, распространяющейся со скоростью [math]\displaystyle{ v = 1/\sqrt{LC} }[/math].

Такая скорость распространения применима к волновым явлениям и не учитывает дрейфовую скорость электрона. Другими словами, электрический импульс распространяется со скоростью, очень близкой к скорости света, несмотря на то, что сами электроны перемещаются со скоростью всего несколько сантиметров в секунду. Можно показать, что эта скорость в коаксиальной линии, сделанной из идеальных проводников, разделенных вакуумом, равна скорости света[8][9].

Линия с потерями

Когда элементами [math]\displaystyle{ R }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math] нельзя пренебречь, первоначальные дифференциальные уравнения, описывающие элементарный участок, принимают вид:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} U(x,t) = -L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t) - R I(x,t), }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} I(x,t) = -C \frac{\partial}{\partial t} U(x,t) - G U(x,t). }[/math]

Дифференцируя первое уравнение по [math]\displaystyle{ x }[/math] и второе по [math]\displaystyle{ t }[/math], после проведения некоторых алгебраических преобразований, мы получим пару гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых содержит по одной неизвестной:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} U = L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} U + (R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} U + G R U, }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I = L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I + (R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} I + G R I. }[/math]

Если потери линии малы (малые [math]\displaystyle{ R }[/math] и [math]\displaystyle{ G=0 }[/math]), сигнал будет затухать с увеличением расстояния как [math]\displaystyle{ e^{-\alpha x} }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha=R/(2Z_0) }[/math].

Эти уравнения похожи на уравнение однородной волны с дополнительными условиями над [math]\displaystyle{ U }[/math] и [math]\displaystyle{ I }[/math] и их первыми производными. Дополнительные условия вызывают затухание и рассеяние сигнала в течение времени и с увеличением расстояния.

Направление распространения сигнала

Волновые уравнения, описанные выше, учитывают, что распространение волны может быть прямым и обратным. Учитывая упрощение линии без потерь (полагая [math]\displaystyle{ R = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ G = 0 }[/math]), решение может быть представлено в виде

[math]\displaystyle{ U(x, t) = f_1(\omega t - kx) + f_2(\omega t + kx), }[/math]

где:

[math]\displaystyle{ k = \omega \sqrt{LC} = \omega/v, }[/math]
[math]\displaystyle{ k }[/math] называется волновым числом и измеряется в радианах на метр,
[math]\displaystyle{ \omega }[/math] — угловая частота (в радианах в секунду),
[math]\displaystyle{ f_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ f_2 }[/math] могут быть любыми функциями, и
[math]\displaystyle{ v = 1/\sqrt{LC} }[/math] — скорость распространения волны (или фазовая скорость).

[math]\displaystyle{ f_1 }[/math] представляет волну, идущую в положительном направлении оси [math]\displaystyle{ x }[/math] (слева направо), [math]\displaystyle{ f_2 }[/math] представляет волну, идущую справа налево. Можно заметить, что мгновенное значение напряжения в любой точке [math]\displaystyle{ x }[/math] линии является суммой напряжений, вызванных обеими волнами.

Так как зависимость между током [math]\displaystyle{ I }[/math] и напряжением [math]\displaystyle{ U }[/math] описывается телеграфными уравнениями, можно записать:

[math]\displaystyle{ I(x, t) = \frac{f_1(\omega t - kx)}{Z_0} - \frac{f_2(\omega t + kx)}{Z_0}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ Z_0 }[/math] — волновое сопротивление линии передачи, которое для линии без потерь можно найти как

[math]\displaystyle{ Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}. }[/math]

Решение телеграфных уравнений

Решение телеграфных уравнений есть, например, на с. 348 в примере 80 (плюс решение примера 79 на с. 347—348) в книге[10].

См. также

Примечания

  1. ↑ John D. Kraus. Electromagnetics (англ.). — Third. — New York, NY: McGraw-Hill Education, 1984. — P. 380—419. — ISBN 0070354235.
  2. ↑ Wiliam H. Hayt. Engineering Electromagnetics (англ.). — Fifth. — New York, NY: McGraw-Hill Education, 1989. — P. 382—392. — ISBN 0070274061.
  3. ↑ Stanley V. Marshall. Electromagnetic Concepts & Applications (англ.). — Second. — New York, NY: Prentice-Hall, 1987. — P. 359—378. — ISBN 0132490048.
  4. ↑ Matthew N. O. Sadiku. Elements of Electromagnetics (англ.). — First. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing[англ.], 1989. — P. 497—505. — ISBN 993013846. Архивная копия от 6 марта 2016 на Wayback Machine
  5. ↑ Rodger F. Harrington. Time-Harmonic Electromagnetic Fields (англ.). — First. — New York, NY: McGraw-Hill Education, 1961. — P. 61—65. — ISBN 0070267456.
  6. ↑ John J. Karakash. Transmission Lines and Filter Networks (англ.). — First. — New York, NY: Macmillan, 1950. — P. 5—14.
  7. ↑ Georges Metzger. Transmission Lines with Pulse Excitation (англ.). — First. — New York, NY: Academic Press, 1969. — P. 1—10.
  8. ↑ Matthew N. O. Sadiku. Elements of Electromagnetics (англ.). — First. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing[англ.], 1989. — P. 501—503. — ISBN 993013846. Архивная копия от 6 марта 2016 на Wayback Machine
  9. ↑ Stanley V. Marshall. Electromagnetic Concepts & Applications (англ.). — Second. — New York, NY: Prentice-Hall, 1987. — P. 369—372. — ISBN 0132490048.
  10. ↑ Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов Архивная копия от 23 марта 2017 на Wayback Machine, 13-е издание. М.: Наука, 1986.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Телеграфные_уравнения&oldid=5877461