Строковое ядро

Строковое ядро — это ядерная функция, определённая на строках, т.е. конечных последовательностях символов, которые не обязательно имеют одну и ту же длину. Строковые ядра можно интуитивно понимать как функции, измеряющие похожесть пар строк — чем больше похожи две строки a и b, тем больше значение строкового ядра K(a, b).

Использование строковых ядер с ядерных алгоритмами обучения, таких как метод опорных векторов, позволяет таким алгоритмам работать со строками без необходимости преобразовывать их к векторам признаков постоянной длины, имеющих вещественные элементы. Строковые ядра используются в областях, где кластеризуется или классифицируется последовательность данных, например, при обработке текстовых данных и анализе генов.

Неформальное введение

Предположим, что кто-то собирается сравнить два фрагмента текста автоматически и определить их относительную похожесть. Для многих приложений может быть достаточным найти некоторые полностью совпадающие ключевые слова. Примером, когда такое точное совпадение не всегда достаточно, можно найти в детекторах спама. Другим примером может служить компьютерный анализ генов, в котором гомологичные гены имеют мутации, при которых в общей последовательности символы могут быть удалены, вставлены или заменены.

Предпосылки

Поскольку некоторые хорошо себя зарекомендовавшие методы кластеризации, классификации и извлечения информации из данных (например, метод опорных векторов) разработаны для работы с векторами (т.е. данные представляют элементы векторного пространства), использование строкового ядра позволяет распространить эти методы на последовательные данные.

Метод строкового ядра контрастирует с распространёнными до его появления подходами для классификации текстов, где вектора признаков показывали только присутствие или отсутствие слова. Это не только улучшило существовавшие подходы, но и является примером, как весь класс ядер адаптируется под структуры данных, которые начали появляться в 21-м веке. Обзор таких методов сделал Гэртнер.

В биоинформатике строковые ядра используются для преобразования биологических последовательностей, таких как протеины или ДНК, в вектора для дальнейшего использования в моделях обучения машин. Примером строкового ядра для таких целей является профильное ядро.

Определение

Ядро области D — это функция [math]\displaystyle{ K : D \times D \to \R }[/math], удовлетворяющая некоторым условиям (симметричная по аргументам, непрерывная, положительно определённая в некотором смысле).

Теорема Мерсера утверждает, что К может затем быть выражен как [math]\displaystyle{ K(x, y) = \varphi(x) \cdot \varphi(y) }[/math] c функцией [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], отображающей аргументы в пространство со скалярным произведением.

Мы можем теперь воспроизвести определение ядра строковых подпоследовательностей над строками из алфавита [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math]. Покоординатно отображение определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \varphi_u : \left\{ \begin{array}{l} \Sigma^n \rightarrow \mathbb{R}^{\Sigma^n} \\ s \mapsto \sum_{\mathbf{i} : u=s_{\mathbf{i}}} \lambda^{l(\mathbf{i})} \end{array} \right. }[/math]

Индексы [math]\displaystyle{ \mathbf{i} }[/math] являются мультииндексами, а u является строкой длины n — подпоследовательности могут оказаться разрывными, но промежутки штрафуются. Мультииндекс [math]\displaystyle{ \mathbf{i} }[/math] задаёт позиции соответствия символов в u и s. [math]\displaystyle{ l(\mathbf{i}) }[/math] является разницей между первым и последним элементом в [math]\displaystyle{ \mathbf{i} }[/math], то есть как далеко отстоит подпоследовательность в s от соответствующей ей подпоследовательности в u. Параметр [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] может быть установлен в любое значение между 0 (промежутки не разрешены, так как только 0⁰ равно не 0, а 1) и 1 (подпоследовательности даже с большими расстояниями весят столько же, сколько и без расстояний, то есть как непрерывные подпоследовательности), так как [math]\displaystyle{ 1^{l(\mathbf{i})} = 1 }[/math].

Для некоторых важных алгоритмов данные получаются алгоритмом только в выражениях, использующих скалярное произведение от вектора признаков, вследствие чего они и получили название ядерные методы. Поэтому желательно, чтобы не нужно было явно вычислять преобразование [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math], а можно было бы вычислять только скалярное произведение через ядро, что может быть много быстрее, особенно при применении аппроксимации.